Материал: Модели и алгоритмы проектирования и разработки систем поддержки принятия инвестиционных решений. Морозов В.П., Баркалов С.А
Если приравнять полученное выражение к выражению для расчета наклона к множеству допустимых портфелей, получим
|
|
2 |
. |
(0,3 r) |
|
||
|
0,3-0,3t |
||
Так как искомая линия уровня не только имеет наклон k, но и проходит через точку П , то согласно (2.5) r=0,3-0,2t. Если подставить это выражение для r в предыдущую формулу, получим t=3/7. Следовательно, П=3А/7+4В/7,
rП 0,141, П 0,214 .
Алгоритм геометрического определения оптимального портфеля на основе модели Марковица не позволяет определить структуру используемых финансовых ресурсов в портфеле (доли ЦБ, входящие в оптимальный портфель). Для этих целей целесообразно использовать аналитический метод.
2.1.1. Постановка задачиопределения долей ценных бумаг в оптимальном портфеле Марковица
Пусть vi, i=1,…,n есть доля ЦБ Аi в произвольном портфеле П: П=v1A1+…+vnAn. Основные параметры портфеля определяются в соответствии с выражениями (2.3) и (2.4).
Необходимо выбрать доли v1+…+vn таким образом, чтобы значение функции U для результирующего портфеля П=( П ,rП ) было максимальным:
|
n |
|
n |
|
U( vivj ij i j , viri ) max. |
(2.7) |
|||
|
i,j 1 |
|
i 1 |
|
Ограничениями в задаче выступают условия: |
|
|||
|
|
v1+…+vn=1, |
(2.8) |
|
|
|
0 vi 1. |
(2.9) |
|
Условие (2.8) показывает, что доли в сумме должны составлять единицу, а условие (2.9) говорит о том, что ЦБ нельзя брать взаймы и давать в долг. Применительно к безрисковой бумаге условие vi 0 не учитывается.
Данная задача (2.7) – (2.9) определения условного экстремума решается известными методами математического анализа (например, методом множителей Лагранжа, сводящим задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум). Для получения конкретных результатов важно знать вид функции полезности. Наименее сложна задача определения портфеля с заданной доходностью и минимизацией риска. Доли риска в данном случае будут определяться в соответствии с выражением
v |
|
r r0 |
|
V-1(r -r0 |
I), |
(2.10) |
|
(r -r I)Т V-1(r -r I) |
|
|
|
||
где v (v1,..., vn )T – вектор |
0 |
0 |
|
|
|
|
долей |
рисковых |
активов в |
портфеле; |
|||
V (Cov(Ri ,Rj ))in, j 1 – матрица ковариаций случайных величин Ri, r (r1,...,rn )T – ожидаемые доходности рисковых активов, r0 – доходность безрискового актива,
51
I (1,...,1)T – вектор-столбец, все координаты которого равны единице.
Рассмотрим демонстрационный пример определения долей облигаций в инвестиционном портфеле.
Дано: сформирован оптимальный портфель, состоящий из облигаций трех эмитентов: «Авангард», «ВТБ», «Газпром». Число временных интервалов наблюдения равно 3. Доходности облигаций в заданных временных интервалах наблюдения распределены следующим образом: «Авангард»: 0,175; 0,169; 0,178; «ВТБ»: 0,189; 0,195; 0,197; «Газпром»:0,167; 0,171; 0,163.
Найти: доли облигаций в портфеле.
Решение. Среднее значение доходностей облигаций найдем по формуле
(2.3):
r1 0,175 0,169 0,178 0,174,
3
r2 0,189 0,195 0,197 0,193,
3
r3 0,167 0,171 0,163 0,167.
3
Получим вектор средних доходностей:
0,174
r0,193(6)0,167
Матрица ковариаций определяется следующим образом:
11 ((0,175 0,174)2 (0,169 0,174)2 (0,178 0,174)2 )/3 1,4е 05 ,
12 ((0,175 0,174)(0,189 0,193(6)) (0,169 0,174)(0,195 0,193(6))
(0,178 0,174)(0,197 193,3(6))/3 6,6(6)7е 07.
Аналогично вычисляем остальные значения. Получаем:
|
|
1,4е 05 |
6,6(6)е 07 |
1,2е 05 |
|
|
|
|
1,15(5)6е 05 |
2,6(6)7е 06 |
|
6,6(6)7е 07 |
|
||||
|
|
1,2е 05 |
2,6(6)7е 06 |
1,06(6)7е 05 |
|
|
|
|
|
|
. |
Обратная матрица к матрице ковариаций равна
|
|
|
1,225019088е 21 |
2,6250409028 |
е 20 |
1,4437724965 |
е 21 |
|
|
|
1 |
|
|
|
5,6250876488 |
е 19 |
3,0937982068 |
|
|
|
2,6250409028е 20 |
е 20 |
|||||||
|
|
|
|
1,4437724965е 21 |
3,0937982068е 20 |
1,7015890138 |
е 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Доли облигаций в портфеле найдем по формуле (3.10). Получим
52
|
|
1,225019088е 21 |
2,6250409028е 20 |
1,4437724965е 21 |
1 |
|
|
|
|
2,6250409028е 20 |
5,6250876488е 19 |
3,0937982068е 20 |
1 |
|
|
||
|
1,4437724965е 21 |
3,0937982068е 20 |
1,7015890138е 21 |
|
|
41,79 |
||
|
1 |
|
||||||
Х[i] |
|
|
|
|
|
100% |
8,96 |
|
1 |
1,225019088е 21 |
2,6250409028е 20 |
1,4437724965е 21 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
49,25 |
|
1 |
2,6250409028е 20 |
5,6250876488е 19 |
3,0937982068е 20 |
1 |
|
||
|
|
1,4437724965е 21 |
3,0937982068е 20 |
1,7015890138е 21 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общая доходность портфеля, рассчитываемая по формуле (2.3), составит:
41,79
mp [0,174 0,193(6) 0,167] 8,96 17,23%.49,25
2.1.2. Алгоритмопределения долей ценных бумаг в оптимальном портфеле Марковица
Блок-схема обобщенного алгоритма реализации модели Марковица представлена на рис. 2.4[153].
1
|
|
|
|
|
|
|
|
Начало |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Ввод исход- |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ных данных |
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Определение математи- |
|
|
|
|
Определение обратной |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ческого ожидания (МОЖ) |
|
|
|
|
ковариационной матрицы |
|||||||
|
|
|
|
доходностей облигации |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нет |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение долей об- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для всех типов |
|
|
лигаций и доходности |
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
портфеля |
||||||||
|
|
|
|
найдено МОЖ? |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Да |
|
|
9 Вывод ре- |
||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
зультатов |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Определение матрицы |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ковариаций |
|
|
|
|
10 Конец |
||
Нет |
|
|
|
Да |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
Для всех ли пар |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
определено? |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рис. 2.4. Блок-схема обобщенного алгоритма реализации модели Марковица
Блоки 1, 10 реализуют начало и конец алгоритма.
Блок 2 используется для ввода ряда исходных данных: типа облигаций; временных интервалов наблюдений; доходности облигаций к погашению.
В блоке 3 реализован расчет математического ожидания доходностей облигаций. Расчет ведется по формуле
53
|
|
1 |
T |
|
|
ri |
|
rit , |
(2.11) |
||
|
|||||
|
|
T t 1 |
|
||
где rit – эффективная доходность i-й облигации в период времени t;
t – номер периода диапазона накопления информации; T – длительность периода накопления информации.
Блок 4 обеспечивает проверку условия определения математического ожидания доходностей для всех типов облигаций. Если условие выполнено, то управление передается в блок 5. В противном случае управление передается в блок 3.
Блок 5 рассчитывает матрицу ковариаций доходностей облигаций. Ковариация между эффективными доходностями i-й и j-й облигаций ( ij)
определяется по формуле
|
1 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
σij |
(rit |
|
ri |
)(rjt |
r |
j ), |
(2.12) |
||
|
|||||||||
|
T t 1 |
|
|
|
|
|
|
||
где rit и rjt – эффективные доходности, соответственно, i-й и j-й облигации в период времени t, %; ri и rj – соответственно математические ожидания эффективных доходностей i-й и j-й облигации.
Вблоке 6 проверяется условие перебора всех пар облигаций. Если условие выполнено, то управление передается в блок 7. В противном случае управление передается в блок 5.
Вблоке 7 определяется обратная ковариационная матрица. В блоке 8 реализовано определение долей облигаций в портфеле по формуле
X[i] 1e/( 1e,e), |
(2.13) |
где x[i]- вектор долей облигаций в портфеле; ij 1 - обратная ковариацион-
ная матрица; e - единичный вектор; e- транспонированный единичный вектор. Кроме того, в данном блоке определяется доходность портфеля по фор-
муле
N |
|
rit xi mp, |
(2.14) |
i 1
где rit - вектор математических ожиданий доходностей облигаций; x[i]- вектор долей облигаций в портфеле;
N - количество облигаций в портфеле; mp - доходность портфеля.
Блок 9 обеспечивает вывод результирующей информации.
2.1.3. Программная реализацияопределения долей ценных бумаг в оптимальном портфеле Марковица
Реализация задачи определения долей ценных бумаг, входящих в оптимальный портфель Марковица, представлена в виде программного модуля, включенного в состав СППИР [146, 153]. В качестве среды разработки модуля
54
использована объектно–ориентированная среда разработки Delphi 7.0. Обоснование выбора данной среды представлено в [4].
Экранная форма расчета долей ценных бумаг, входящих в оптимальный портфель Марковица, приведена нарис. 2.5.
Верхняя часть экранной формы предназначена для ввода исходных данных для расчета. В левой верхней части экранной формы находится окно со списком ценных бумаг (облигаций), которые могут быть включены в состав портфеля. Рядом находится окно, в котором отображаются выбранные облигации.
Рис. 2.5. Вид экранной формы расчета долей ценных бумаг, входящих
воптимальный портфель Марковица
Всредней части экранной формы находится окно «Доходность к погашению».
Вправой части формы размещены два окна, в которых задаются количество типов ЦБ (облигаций) и количество рассматриваемых временных интервалов соответственно. Они заполняются на начальном этапе работы с программным модулем. Затем осуществляется выбор конкретных ЦБ (облигаций). После выбора необходимой облигации пользователь нажимает правую кнопку мыши. Появляется кнопка «Добавить». Нажатием данной кнопки соответствующая ЦБ перемещается в окно «Выбранные облигации». Далее необходимо ввести требуемые периоды наблюдения за доходностями облигаций. Соответствующие окна ввода размещены снизу окна «Выбранные облигации». Кнопки «Сброс» и «Принять», размещенные справа от этого окна, обеспечивают соответственно удаление или принятие списка выбранных ЦБ. Перечень выбранных (принятых) ЦБ и их доходность за выбранные периоды, отобразится в окне «Доходность к погашению», которое размещено в правой верхней части экранной формы. Значения доходности облигаций могут корректироваться и вводиться с клавиатуры.
Внижней части экранной формы отображаются результаты расчета. Они появляются после ввода исходных данных (заполнения верхней части экранной формы) и нажатия кнопки «Расчет». В состав результатов расчета включены
55