Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011
Решение
Вместо разложения (II.12.11) имеем:
m − nq ≈ −nq′′ r 2 , 2
а вместо (II.3.12) и (II.3.13) −
nq |
′′ d r 2 |
− |
R |
m |
|
A1 cos и |
||||
|
2d |
|
H0 |
r0 |
|
|||||
r |
3 |
−6 |
m RmA1 |
sin C. |
||||||
|
n |
H0q′′ |
||||||||
Отсюда видно, что для r существуют решения при любых , т.е. острова исчезают.
76
Глава III. Траектории частиц в токамаке
Магнитная ловушка для плазмы в первую очередь должна хорошо удерживать отдельные частицы. Тороидальные системы в этом смысле имеют преимущество перед открытыми ловушками, т.к. не имеют конуса потерь. С другой стороны, просто тороидальный соленоид не может удерживать частицы, т. к. они уходят из него вследствие дрейфа. Дрейф в неоднородном тороидальном поле приводит к разделению зарядов
внаправлении верх-низ, а образовавшееся при этом электрическое поле вследствие ЕхВ дрейфа заставляет частицы выдрейфовывать из системы вдоль большого радиуса. Ток, текущий в токамаке, превращает круговые силовые линии тороидального соленоида в спирали, намотанные на тороидальные магнитные поверхности, создавая так называемое вращательное преобразование. В стеллараторе аналогичный эффект создаётся внешними винтовыми обмотками. Такая конфигурация поля превращает траектории частиц
взамкнутые. Рассмотрим эти траектории в токамаке с малой тороидальностью.
Магнитное поле в токамаке можно представить в виде:
77
H H0R0 , |
H0R0 |
|
1 |
e , (III.1) |
|
R |
R0 |
||||
|
|
|
|||
Квазицилиндрическая |
система |
|
координат |
||
показана на рис. 18.
Рис. I8. Квазицилиндрическая система координат. |
|
Как видно из рисунка, |
|
R R0 − r cos . |
(III.2) |
Тороидальное поле, которое в токамаке всегда много больше, чем полоидальное, при a/R 1 можно приближенно представить в виде:
78
|
|
H |
|
H0R0 |
≈ H0 1 |
|
r |
cos |
. |
(III.3) |
|||
|
|
|
|
R |
R0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Как было показано в разделе II, уравнение для |
|
|||||||||||
дрейфовой траектории имеет вид: |
|
|
|
||||||||||
|
dr |
hv |
c |
E, H |
mc |
|
|
v2 |
2v2 |
h, H . |
(III.4) |
||
|
|
|
2eH2 |
||||||||||
|
dt |
H |
|
|
|
|
|
||||||
|
Для простоты положим |
Е 0, хотя наличие |
|
||||||||||
равновесного электрического поля приводит к ряду |
|
||||||||||||
интересных эффектов, в частности, к пинчеванию |
|
||||||||||||
разряда, которое рассмотрим позже. Учтем, что |
|
||||||||||||
сохраняются |
|
кинетическая |
|
|
энергия |
частицы, |
|
||||||
mv2/2 const, |
|
|
и |
её |
магнитный |
момент |
|
||||||
mvH2
const. Заметим, что здесь магнитный
момент отличается от определённого ранее постоянным множителем. Это связано с тем, что теория, изложенная ниже, даётся по работе [9], и мы следуем обозначениям автора. Вычислим H.
|
H |
H2 H2 |
|
(III.5) |
|
|
2 |
r |
2 |
|
|
|
2 |
|
|||
|
H0 1 |
|
cos |
H . |
|
R0 |
|
||||
Сохраняя в |
(III.5) |
только |
линейные |
по |
|
r/R0 члены, получаем:
79
H H0 |
1 |
r |
cos , |
(III.6) |
|
||||
|
|
R0 |
|
|
или в компонентах |
|
|
|
|
H H0 |
cos , sin , 0 . |
(III.7) |
||
|
R0 |
R0 |
|
|
Уравнение для |
-компоненты |
траектории |
||
принимает вид:
r ddt HH v ,
или, если выразить v через и полную скорость v, v v 1 − mvH2 , то
|
|
|
|
d |
|
|
|
v |
1 |
− |
|
r |
|
cos |
|
(III.8) |
||||||||
|
|
|
|
dt |
R0q |
R0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 − |
|
H0 |
|
1 |
|
r |
|
cos . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
mv2 |
R0 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь q |
rH0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
R0H . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Радиальная компонента уравнения (III.4) даёт: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
dr |
|
|
mc |
|
|
|
v2 v2 |
|
sin |
1 |
r |
cos . |
(III.9) |
||||||||||
|
|
2eH0R0 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R0 |
|
|||||||||
Отклонение частицы от силовой линии предполагается небольшим, поэтому уравнение
80