Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

(III.8) можно		решать в приближении r const. Это
приближение		становится несправедливым	вблизи
магнитной оси.
Член,	r	cos в первых скобках даёт	лишь
	R0

малую поправку, и его можно опустить. Под знаком корня члены нулевого порядка могут скомпенсировать друг друга, и такой член необходимо сохранять. Тогда можно написать:

d	1		H0r	mR0v2		R0	− cos .	(III.10)
				H0r	−	r
dt		R0q	mR0

Выражение под корнем можно представить так:

mR0v2

−

− cos

≡

− 1

− cos ,

H0r

где

− 1

(III.11)

mv2

− 1

Можно найти

точное

решение

уравнения

(III.10). Оно выражается через полные эллиптические интегралы и не является достаточно наглядным. Поэтому рассмотрим наглядные предельные случаи. На внутреннем обводе тора поле сильнее, чем на внешнем. Поэтому частицы,

двигаясь почти по силовой линии, могут отражаться от области сильного поля, либо проходить сквозь неё аналогично тому, как это происходит в пробкотроне.

1. Быстропролётные частицы.

Это частицы, у которых v v . Они почти не тормозятся на внутреннем обводе тора. Из (III.11) видно, что для них 1. В этом пределе уравнение для упрощается:

d	v	,	(III.12)
dt	R0q

откуда

− 0 Rvq t − t0 .

Период полного оборота по полоидальному углу

составляет

2 Rv 0q .

(III.13)

(III.14)

2. Глубоко запертые частицы.

Рассмотрим теперь противоположный предельный случай, т.е. глубоко запертые частицы. Для таких частиц на всей траектории v /v 1. Они сосредоточены на внешнем обводе тора, мало отклоняясь от экваториальной плоскости, т.к. легко отражаются от области сильного поля. Введём новый угол − 1. Тогда cos ≈ −1 2/2, а вместо (III.11) имеем:

H0r

4 2 − 2 .

R0q

2mR0

Это уравнение

легко

интегрируется

элементарных функциях:

− 0

arcsin

− t0 .

R0q

Заметим,

что

≈ v/ 2 . Т.к.

sin /2

(III.15)

(III.16)

не

может превосходить единицы, движение является периодическим с периодом

2 2	R0q	.	(III.17)

	v

Обратную величину называют баунс-частотой.

В точках поворота arcsin 2 /2, т.е. 2 1.

Рассмотрим теперь отклонение частиц от магнитной поверхности r. Удобно решать не уравнение (III.9), а разделить его на уравнение

(III.10). Считая r r и схраняя член	r	cos

	R0

лишь там, где он важен, т.е. только под знаком корня, получаем уравнение для r :

d r	mcq	v2 v2		sin	.	(III.18)
d	2eH0		H0
				2 2 − 1 − cos
			mv

Это уравнение легко интегрируется в

элементарных функциях.

Для быстропролётных частиц v ≈ v, 1. В результате получаем:

d r	mcv q cos ,	r − r0
d
	eH0

mcv q cos − 0 . eH0

Максимальное смещение составляет величину

rmax q.

(III.19)

(III.20)

Так как в средней части разряда q обычно порядка нескольких единиц, то смещение быстропролётных частиц от магнитной поверхности оказывается порядка нескольких ларморовских радиусов

Для глубоко запертых частиц это смещение

оказывается существенно больше. Непосредственно интегрируя (III.18) и полагая v v, получаем:

r		mcv	q 2 2	− 1 − cos .	(III.21)
	eH0
Максимальное		смещение		достигается	при

cos −1. Кроме того, для глубоко запертых частиц→ 1. Следовательно,

	rmax		2	mcv		q.	(III.22)
				eH0
Сравнивая эту величину со смещением
быстропролётных частиц (III.20), видим, что оно
отличается	не	только			малозначительным
множителем	2 ,	но и	малой		величиной		в

знаменателе. Т.е. смещение запертых частиц

существенно превышает ларморовский радиус.

Из выражения (III.21) видно, что проекция

траектории запертой частицы на сечение const

по форме напоминает банан (см. рис. 19.). Поэтому

такие траектории называют банановыми, а режим

столкновений, при котором частицы успевают

замкнуть банановую траекторию, ни разу не

столкнувшись с другой частицей, называют

банановым. Напомним, что "бананы" на рисунке -

это только

проекции

траекторий

на плоскость

const. На самом деле банановые траектории не

являются замкнутыми

вследствие

тороидального

смещения частиц. Рассмотрим тороидальную

компоненту уравнения (III.4) для глубоко запертых

частиц:

h v

mcv2

h, H e

(III.23)

2eH0

и усредним его по банановым осцилляциям. В

первом приближении h v 0.

mcv2

cos .

2eH02 H0

Источник: https://studfile.net/preview/16708796/

Смотрите также:



_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "
"Логистическая технология JIT"