Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011
Действительно, введём новую переменную x′ x − 1. Вблизи верхнего проводника на Рис. II.5 можно положить x′ 1, y 1. Разлагая (II.2.18)
вряд по x’ и y’, получаем:
≈ 4
x′ 2 y2 
,
т.е. сечения поверхностей сonst являются кругами. Начало координат является называемой х-точкой. Действительно, при x→ 0 выражение (II.2.18) переходит в следующее:
|
1 2y2 − 2x2. |
(II.2.19) |
|
Значение |
1 |
соответствует |
поверхности, |
проходящей |
через |
начало координат. Для нее |
|
x y.
Cечение магнитных поверхностей в модели Бузера показано на рис. 16. Поверхность, для которой 1, отделяет области магнитных поверхностей, охватывающих одну ось, от области поверхностей, охватывающих обе оси. Она называется сепаратрисой.
Простое определение для q (II.1.21) здесь уже неприменимо. Поэтому выразим эту функцию через магнитные потоки. Формулу (II.1.21) можно
переписать так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rH |
|
|
|
d |
H rdr |
|
d |
. |
|
|
q |
|
|
|
dr |
|
(II.2.20) |
|||||
RH |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
d |
R H rdr |
|
d |
|
||||
|
|
|
dr |
|
|
||||||
Такое определние q пригодно для любой формы
66
магнитных поверхностей. Заметим, что вблизи х-точки H → 0, поэтому при приближении к сепаратрисе q → .
Рис. 16.Сечения магнитных поверхностей в модели Бузера
67
II. 3. Устойчивость магнитных поверхностей
Описание магнитных полей токамака, приведённое в предыдущем разделе, справедливо лишь в первом приближении. На эти поля обычно наложены различные возмущения, связанные как с неидеальностью магнитных систем, так и с различными процессами в плазме. Поэтому встаёт вопрос об устойчивости магнитных поверхностей к внешним возмущениям.
Невозмущенное полоидальное поле в системе с круглыми магнитными поверхностями можно описать с помощью векторного потенциала со следующими компонентами:
A 0, |
(II.3.1) |
Ar −H0r ,
A − Rr Hq0 dr.
Действительно, беря ротор от векторного потенциала, получаем:
Нr |
|
1 ∂Az |
− |
1 |
|
∂A |
0; H |
1 ∂Ar |
− |
∂A |
|
r |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
r ∂ |
R |
∂ |
R ∂ |
∂r |
R |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂Ar |
|
|
|
||||||||||||||
H |
|
1 |
|
∂ |
rA − |
H0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
r |
∂r |
∂ |
|
|
|
потенциала |
||||||||||||||||
|
Пусть |
возмущение |
векторного |
|||||||||||||||||||
имеет вид винтовой гармоники: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
A1 r sin m − n . |
|
|
|
(II.3.2) |
|||||||||||
68
Поля при этом определяются как |
|
||||||||||||||
|
1 ∂A |
|
m |
|
|
|
|
||||||||
Hr |
r |
|
|
|
|
|
|
r |
A1 sin m − n , |
(II.3.3) |
|||||
|
|
∂ |
|
||||||||||||
|
|
|
∂A |
|
r |
|
H0 |
|
∂A1 |
|
|||||
H − |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
− |
|
sin m − n , |
|
||
|
|
∂r |
R |
|
|
∂r |
|
||||||||
H ≈ H0.
Возмущения тороидального поля учитывать не будем.
Уравнение для магнитных поверхностей имеет вид (II.2.15), H, 0, что можно переписать следующим образом:
Hr |
∂ |
|
H |
∂ |
|
1 |
|
∂ |
0. |
(II.3.4) |
∂r |
r |
∂ |
R |
|
∂ |
Будем решать задачу с помощью теории возмущений, т.е. представим решение в нулевом приближении плюс малое возмущение и сохраним в уравнении только линейные по возмущениям члены.
HH00 H1; 0 1;
H00 
0, Rr Hq0 , H0
.
Внулевом приближении имеем
r .
Для простоты положим A1 первом приближении получаем:
H0 ∂ 0
r ∂
const.
(II.3.5)
0, т.е.
Тогда в
69
|
H1 |
∂ 0 |
r |
|
H0 ∂ 1 |
|
|
|
H0 ∂ 1 |
0. |
(II.3.6) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂r |
|
R |
r∂ |
R |
|
|
∂ |
|||||||||||||||||
Ищем решение в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
mn sin m − n . |
|
(II.3.7) |
|||||||||||||||
Подставляя (II.3.7) в (II.3.6), находим: |
|
|||||||||||||||||||||||
m |
∂ 0 |
|
|
|
|
H0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r |
A1 |
|
|
mn |
|
|
m − nq cos m − n 0, |
|
||||||||||||||||
∂r |
Rq |
|
||||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
A1 ∂ 0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ьт |
− |
m − nq |
|
|
|
|
|
|
. |
|
(II.3.8) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
H0 |
|
∂r |
|
|||||||||||||||
Из (II.3.7) и (II.3.8) видно, что винтовое возмущение приводит не к разрушению магнитных поверхностей, а лишь к изгибанию их, если мы находимся не слишком близко к резонансной поверхности, где шаг винтового возмущения совпадает с шагом силовой линии, т.е. в ноль обращается знаменатель в выражении (II.3.8). В этом случае теория возмущений неприменима, и приходится пользоваться другим методом нахождения решения.
Введём новую переменную m − n и
вернемся к полному уравнению (II.3.4).
70