Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

Рис. 22. Эволюция функции распределения электронов при распространении волны в бесстолкновительной плазме

Из рисунка видно, что функция, которая была первоначально максвелловской, начинает уплощаться в точке, соответствующей скорости частиц, равной фазовой скорости волны, образуя постепенно "столик" вблизи этой точки. Конечно, редкие столкновения, которые мы здесь не учитывали, постепенно разрушают столик, а волна затухает до нуля.

121

Глава V. Уравнения магнитной гидродинамики. Метод моментов

Сплошные среды часто описываются уравнениями гидродинамики (см. напр. [10])

Уравнения эти обычно получаются из рассмотрения баланса сил, действующих на единичный объём жидкости. Тем же способом можно описывать и газы в том случае, когда длина свободного пробега частиц много меньше характерного размера задачи. В случае замагниченной плазмы пределом применимости является условие малости ларморовского радиуса по сравнению с характерным размером (подробнее об этом см. [11]). Однако при этом остаётся открытым вопрос: как связана гидродинамика с кинетикой и можно ли получить из кинетики предельным переходом уравнения гидродинамики. Мы попытаемся ответить на этот вопрос в настоящем разделе. Для этого рассмотрим метод моментов.

Моментом функции распределения с номером n являются интегралы вида

122

Для того, чтобы получать уравнения для

моментов, будем умножать кинетическое уравнение на соответствующую степень скорости и интегрировать по импульсному пространству.

V.1. Нулевой момент (уравнение непрерывности)

Для того, чтобы получить нулевой момент, просто проинтегрируем кинетическое уравнение по пространству импульсов.

Stdp.

Впервом члене можно поменять порядок

интегрирования и дифференцирования. По определению fdp n, где n − плотность. Тогда

123

определению dpvf nV, где V − средняя скорость. Таким образом,

Член, пропорциональный электрическому полю,

обращается в ноль. Действительно, в компонентах его можно переписать так:

Ze Ex ∂∂pfx dpx dpydpz

Ze Ey ∂∂pfy dpy dpxdpz

Ze Ez ∂∂pfz dpz dpydpx

Так как функция распределения обращается в ноль при бесконечных импульсах, каждый из этих интегралов обращается в ноль.

Член, пропорциональный магнитному полю, также обращается в ноль (см. задачу к этому разделу).

Интеграл от столкновительного члена также должен обращаться в ноль, т.к. если мы не учитываем процессов рождения-поглощения частиц, он не должен менять число частиц.

124

Покажем это. Мы будем учитывать только парные столкновения. Мгновенный уход частиц из объёма фазового пространства вблизи импульса p происходит вследствие столкновения с другой частицей с произвольным импульсом p′. Скорость ухода пропорциональна фазовой плотности таких частиц (т.е функции распределения f , где индекс означает сорт частицы) и вероятности w p, p′, p′′ того, что частица после столкновения будет иметь импульс p′′. Очевидно, что импульс второй частицы после столкновения однозначно определяется законом сохранения импульса. В результате столкновений частицы не только уходят из данного фазового объёма, но и приходят в него. Если частица пришла в него в результате столкновения частиц с импульсами p′ и p′′, то скорость прихода

пропорциональна обеим фазовым плотностям и вероятности w p′, p′′, p . В результате столкновительный член, определяемый балансом прихода и ухода частиц, принимает вид:

− f p f p′ w p, p′, p′′ .

Так как частица сталкивается с частицами всех

сортов, присутствующих в плазме и имеющих всевозможные импульсы, здесь проведено суммирование по всем сортам частиц и интегрирование по p′ и p′′. Проинтегрируем это

125