Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

Затухание на электронах экспоненциально мало

и определяется только ионами. Из (IV.6.7) в этом пределе находим:

IV.7. Квазилинейная теория затухания Ландау

Линейное приближение позволяет установить сам факт неустойчивости и проследить ее развитие лишь на самой начальной стадии. Для того, чтобы понять, к чему развитие неустойчивости приведёт, надо учитывать следующие члены разложения в кинетическом уравнении. В большинстве случаев это удаётся сделать лишь численно. Однако, если возмущения остаются малыми и на нелинейной

116

стадии (т.н. слабая турбулентность), существуют аналитические методы исследования. Это так называемая квазилинейная теория. Аналогичная задача возникает и при затухании слабой волны на нелинейной стадии.

При линейном анализе мы предполагали, что

функция распределения представляет собой сумму

f0 f, где f0 не зависит от времени. В квазилинейном приближении мы будем предполагать, что f0 сама медленно меняется под действием возмущения. Предположим также, что в плазме существуют быстрые мелкомасштабные осцилляции, характерные периоды которых существенно меньше характерного времени и масштаба изменения функции f0. Волной над буквой мы будем обозначать быстропеременные функции, а угловыми скобками − усреднение по отрезку времени , превосходящему периоды быстрых осцилляций, но много меньшему характерного времени изменения f0, и по отрезку L, превосходящему длину волны осцилляций. Кинетическое уравнение запишется тогда так:

При усреднении члены, содержащие нечётные

степени быстро осциллирующих функций, обратятся в ноль. Поэтому усреднённое уравнение приобретает вид:

117

Так как возмущение функции распределения мы считаем малым, то положим, что оно связано с электрическим полем так же, как и в линейном приближении. Для фурье-образа это соотношение (IV.3.3). Используя это, вычислим квадратичный по возмущениям член в уравнении (IV.7.2).

если ′ 0; k k′ 0.

В других случаях этот интеграл равен нулю. Таким образом, усреднённое произведение (IV.7.3) сводится к следующему:

118

Так как электрическое поле является действительной величиной, должно выполняться

Снова воспользуемся соотношением (IV.4.2) и проинтегрируем по , а также будем считать, что f0 не зависит от x. Кроме того, в практически

интересных случаях спектр можно считать симметричным относительно точки kv , т.е. |E|2k, - чётная функция от − kv. В этом случае

интеграл в смысле главного значения выпадает. В результате имеем:

Для того, чтобы вычислить обе неизвестные функции, f0 и |E|2, необходимо иметь второе

уравнение.

Здесь под мы понимаем действительную часть

119

частоты. Комплексно сопряжённое значение этой функции имеет вид:

меняющуюся со временем искомую функцию. Таким образом, уравнения (IV.7.7) и

(IV.7.10) составляют полную систему уравнений для исследования эволюции волны и функции распределения электронов при распространении волны в бесстолкновительной плазме. Пример эволюции функции f0 приведён на рис. 22.

120