Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011
|
x |
|
|
exp −z2 |
|
|
|
|
|
|
|
z − x |
dz |
|
(IV.5.13) |
||
|
|
|
− |
|
|
VP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
exp |
− u x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
du |
≈ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
VP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
exp − u 2 |
|
|
|
||
≈ |
|
|
u |
|
1 − 2ux du |
. |
||
|
|
− |
|
|
|
|
|
VP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
мы |
перешли |
к |
новой |
переменной |
|||
интегрирования u z − x. Первый член в скобках при интегрировании даёт ноль, и окончательно получаем:
F x −2x2 i |
x; x 1. |
(IV.5.14) |
Как мы уже видели, из уравнения div E 0
следует, что в однородной незамагниченной плазме для продольных электростатических волн дисперсионным уравнением является уравнение0. Очевидно, что затухание волны определяется мнимой частью . При x 1 она экспоненциально мала. В случае x 1
1 |
2 |
p |
1 − 2 |
|
2 |
i |
|
|
. |
(IV.5.15) |
|
kvT |
|
|
|||||||
|
|
kvT |
|
|
|
kvT |
|
|||
111
Здесь затухание пропорционально лишь первой
степени параметра |
p |
. Очевидно, что |
сильнее |
|||
kvT |
||||||
|
|
p |
|
|
||
всего волна затухает, |
когда |
1, т.е. |
в том |
|||
kvT |
||||||
случае, когда фазовая скорость волны совпадает с тепловой скоростью. Именно в этом месте максвелловская функция распределения имеет максимальную производную.
Заметим, что все предыдущие выводы сделаны в предположении ′ , а движение ионов не учитывалось.
IV.6. Учёт движения ионов
Для распространения волн с меньшими частотами, чем те, что исследовались в предыдущем разделе, необходимо учитывать движение ионов. При выводе возмущённой функции распределения вид частиц не конкретизировался, а в формулу (IV.3.4), из которой и получается дисперсионное уравнение, возмущённые плотности электронов и ионов входят аддитивно, можно не проводить вычислений для ионов, а просто добавить соответствующий член в выражение для (IV.5.10):
k, 1 |
4 nee2 |
1 F |
|
|
(IV.6.1) |
|
k2Te |
kvTe |
|||||
|
|
|
|
112
|
4 nie2 |
1 F |
|
. |
|
k2Ti |
kvTi |
||||
|
|
|
|||
Здесь индексы е и i относятся к электронам и |
|||||
ионам соответственно. Следует помнить также о квазинейтральности плазмы, ne ≈ ni. Заметим, что второй и третий член вошли с одинаковыми знаками, хотя возмущения плотности входят в уравнение (IV.3.4) с разными. Дело в том, что возмущения плотности электронов и ионов пропорциональны каждое своему заряду, т.е. имеют противоположные знаки.
Рассмотрим предельные случаи. Если ионная температура не слишком превосходит
электронную, то vTe |
vTi. Значит, если |
|
1, |
|||||
kvTe |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
то заведомо |
|
1, |
и такая волна на ионах не |
|||||
kvTi |
||||||||
затухает. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим теперь случай |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
vTi |
|
|
vTe, |
|
(IV.6.2) |
|
|
|
k |
|
|||||
т.е. фазовая скорость волны много больше ионной тепловой скорости, но много меньше электронной. Тогда в выражение (IV.6.1) можно
подставить разложение в ряд функции F |
|
|
и |
|
|
kvTe |
|||
ассимптотику вместо функции F |
|
|
|
|
|
. |
В |
||
kvTi |
||||
результате для получаем: |
|
|
|
|
113
|
|
1 − |
|
pi2 |
|
|
|
1 |
|
1 i |
|
. |
||||||
|
|
|
2 |
krDe |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kvTe |
|||||
Здесь |
мы ввели |
|
|
ионную |
плазменную частоту |
|||||||||||||
pi |
|
4 nie2 |
(в |
|
|
отличие |
от |
электронной |
||||||||||
|
|
mi |
|
|
|
|
||||||||||||
плазменной pe |
|
|
4 nee2 |
). Напомним также, что |
||||||||||||||
|
|
|
me |
|
||||||||||||||
rDe,i |
|
|
|
Te,i |
. |
Пренебрежём |
мнимой частью в |
|||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
4 ne |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(IV.6.3) и в коротковолновом пределе krD 1, находим действительную часть частоты:
2 k2 Te .
mi
Очевидно, что эта бесстолкновительная (!) волна имеет фазовую скорость, очень похожую на фазовую скорость обычного (столкновительного) звука. Поэтому этот тип волн называют ионным звуком. При этом в формулу входит электронная температура и ионная масса. Очевидно, что его фазовая скорость много меньше электронной тепловой, что соответствует предположению
(IV.6.2).
С другой стороны, фазовая скорость магнитного
звука должна быть много больше тепловой скорости ионов (см. (IV.6.1)). В противном случае волна будет сильно затухать на ионах.
(IV.6.3)
(IV.6.4)
114
|
vph |
Te |
|
Ti |
|
|
|
|
mi |
|
mi |
. |
|
(IV.6.5) |
|
Очевидно, что это неравенство может |
|||||||
выполняться только в случае |
|
|
|
|
|||
|
|
Te |
Ti. |
|
|
|
(IV.6.6) |
Таким |
образом, |
|
ионный |
звук |
может |
||
распространяться без сильного затухания только в |
|
|||||||||
плазме, для которой электронная температура |
|
|||||||||
существенно превышает ионную. Такой режим |
|
|||||||||
обычно осуществляется в плазме с редкими |
|
|||||||||
столкновениями, нагреваемой текущим по ней |
|
|||||||||
током, в частности, в токамаках с омическим |
|
|||||||||
нагревом. Декремент затухания ионного звука |
|
|||||||||
получим из (IV.6.3). В первом по |
|
|
приближении |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
находим: |
|
|
|
|
|
kvTe |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
pik |
|
rDe 1 − i |
|
|
. |
(IV.6.7) |
||
|
|
kvTe |
||||||||
Подставим сюда ′ i и отделим мнимую часть от действительной. При этом можно значение′ подставить из нулевого приближения. В результате находим :
− pikrDe |
me |
. |
(IV.6.8) |
|
|||
|
8mi |
|
|
Рассмотрим теперь |
длинноволновый |
предел |
|
115