Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

первого члена берём по частям:

dpxdpydpzpx ∂∂pfx vyHz − vzHy −n VyHz − VzHy .

Другие компоненты уравнения (V.1.1) вычисляются аналогично. Окончательный результат, переписанный в векторной форме, даёт:

v v, H ∂∂pf dp n V, H .

V.4. Одножидкостная гидродинамика

написанные по отдельности для электронов и разных сортов ионов, представляют собой уравнения многожидкостной гидродинамики. Рассмотрим пока более простой случай двухжидкостной гидродинамики, когда плазма состоит из электронов и одного сорта ионов. Для простоты будем считать, что ионы однозарядные, Z 1. В этом случае можно перейти к более простой системе одножидкостной гидродинамики.

Для электронов уравнение (V.2.18) перепишется

так:

136

Мы заменили разность скоростей ионов и

электронов через плотность тока j ne Vi − Ve и ввели проводимость плазмы

упорядоченная скорость электронов не слишком превосходит упорядоченную скорость ионов, то массовая скорость практически совпадает с последней. Примем во внимание также, что mi mi, условие квазинейтральности ne ni, пренебрежём вязкостью и сложим уравнения (V.4.1)

и (V.4.3):

137

P Pi Pe.

Уравнение (V.4.4) можно переписать несколько

иначе, используя уравнение rotH 4c j.

min ddtV −P 41 , H , H .

Раскрывая двойное векторное произведение в правой части, получаем:

Это уравнение должно быть дополнено уравнением для тока. Воспользуемся для этого уравнением (V.4.1). Оценим члены в левой и правой частях. Пусть характерное время изучаемого процесса . Тогда первый член в левой части имеет величину порядка nmeVe/ . Первый член в правой части имеет порядок nTe/a nmev2Te/a, где a -

характерный размер задачи. Второй член в левой части имеет порядок men Ve 2/a. Очевидно, что

если Ve vTe и Ve v2Te/a, левой частью в уравнении (V.4.1), т.е. инерцией электронов можно

пренебречь. В результате получаем обобщённый

138

закон Ома:

Электронная вязкость во многих задачах

пренебрежимо мала. В металлических проводниках градиент электронного давления пренебрежимо мал (чего нельзя сказать о горячей плазме), а относительная скорость электронов и ионов практически равна электронной скорости. Поэтому в металлическом проводнике уравнение (V.4.6) переходит в обычный закон Ома с учётом эффекта Холла.

Из уравнения (V.4.1) получаем одно из важнейших уравнений в теории магнитного удержания − условие равновесия. В стационарном случае производная по времени обращается в ноль. Для неподвижной плазмы уравнение равновесия принимает вид:

Во многих случаях плазма в термоядерных установках вращается. Инерционный член min V, V оценивается так же, как и для электронов. Поэтому если скорость вращения плазмы много меньше тепловой скорости ионов, то уравнение (V.4.6) пригодно для расчёта равновесия

139

и в этом случае. Следует, однако, заметить, что ионы примеси часто значительно массивнее ионов основной плазмы, и при расчётах следует учитывать их инерцию.

V.5. Теорема вмороженности

Рассмотрим бесстолкновительную плазму, скорость движения которой много меньше тепловой скорости ионов. Тогда в уравнении (V.4.3) можно пренебречь инерцией ионов. Пренебрежём также вязкостью и термосилой. Тогда плотность тока в плазме выражается в виде:

В металлическом проводнике Pi 0. Возьмём rot от уравнения Максвелла rotH 4c j

Правая часть уравнения (V.5.2) описывает диффузионное расплывание неоднородностей

140