Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

довольно часто. В частности, нелинейные дрейфовые волны и атмосфера Юпитера описываются одинаковыми уравнениями, а зональные течения (горизонтальные полосы) и Большое красное пятно (рис. 3) аналогичны зональным течениям и солитону в токамаке.

Рис.3. Юпитер. В направлении на 4 часа видно Большое

красное пятно.

Естественно, что в небольшом пособии невозможно даже вкратце изложить все аспекты теории в столь различных ее приложениях. Поэтому

11

автор ставил перед собой значительно более скромную задачу: изложить основы теории сравнительно разреженной плазмы, характерной для установок магнитного удержания и ряда задач астрофизики. Не рассматриваются квантовые эффекты в плазме, неидеальная плазма, релятивистские эффекты рассматриваются лишь в приложении к движению отдельных частиц. Мне казалось важным научить читателя языку теории плазмы, чтобы он впоследствии мог сам читать научную литературу, рассказать о наиболее полезных математических приемах исследования, которые часто опускаются не только в журнальных статьях и монографиях, но даже в знаменитом многотомном курсе Ландау. Последний, несмотря на все его достоинства, все же труден для студентов.

В первую часть пособия вошли теория движения заряженных частиц в электрических и магнитных полях (с учетом релятивизма), геометрия магнитного поля в простейшей форме, кинетическое описание плазмы, получение уравнений магнитной гидродинамики из кинетического уравнения, волны в однородной плазме, линейное и квазилинейное затухание Ландау, а также ряд нелинейных явлений.

12

Глава I. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

I.1. Лагранжева и гамильтонова формы описания движения. Интегралы движения в симметричных системах.

Мы будем рассматривать движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях для релятивистского случая. Естественно, что такие частицы присутствуют в космической плазме. Но даже в токамаках, где температура плазмы существенно ниже релятивистского уровня, возникают группы электронов, ускоренных до релятивистских скоростей.

Уравнения движения заряженной частицы в декартовой системе координат хорошо известны, и задача в простейшем случае однородных полей решается достаточно просто. Однако электрические и магнитные поля как в астрофизических объектах, так и в лабораторных установках, как правило, неоднородны. Поэтому для упрощения задачи полезно перейти от декартовых к обобщенным каноническим переменным, записав уравнения движения в лагранжевой или гамильтоновой форме.

Как известно, лагранжева форма уравнений

13

имеет вид:

Здесь qi – обобщенная координата, а точка над буквой означает производную по времени. Функцию L называют функцией Лагранжа, или лагранжианом. Как известно, для релятивистской заряженной частицы в электромагнитных полях она имеет вид (см. напр. [1] :

Здесь A − векторный потенциал магнитного поля, − скалярный потенциал поля электрического.

Величина

называется обобщенным импульсом частицы. Легко убедиться, что в нерелятивистском случае функция Лагранжа сводится к разности кинетической и потенциальной энергий плюс член, описывающий взаимодействие частицы с магнитным полем.

В гамильтоновой форме уравнения движения принимают следующий вид:

14

гамильтониан

Гамильтониан в нерелятивистском случае сводится к сумме кинетической и потенциальной энергий. Для того, чтобы производить вычисления с помощью уравнений (I.1.4), скорость в гамильтониане необходимо выразить через обобщенные координаты и импульсы.

С помощью (I.1.3) выразим обычный кинематический импульс p через обобщенный импульс P и подставим его в (I.1.6) . В результате находим:

Использование обобщенных координат и импульсов позволяет сразу находить некоторые интегралы движения в случае явной или скрытой симметрии. Из уравнений (I.1.1) или (I.1.2) видно, что если векторный потенциал магнитного поля и скалярный потенциал электрического одновременно не зависят от какой-либо

15