Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

eE1 E20 ceEt 2 x0.

Аналогично получаем зависимость у от времени:

В отличие от нерелятивистского случая при достаточно больших временах х растет со временем практически линейно, а у – логарифмически.

Задача.

Найти предел по времени, когда движение еще будет оставаться нерелятивистским.

Решение.

Движение можно считать нерелятивистским,

если px mc, т.е. E mc/ eE .

Теперь перейдем к рассмотрению движения релятивистской частицы в однородном магнитном поле. Пусть электрическое поле однородно и перпендикулярно магнитному. В этом случае всегда

21

можно выбрать такую систему отсчета, в которой оно равно нулю. Однородное магнитное поле H const может быть описано скалярным потенциалом

Действительно,

rot H, r Hdivr − H, r r, H − r H 3H − H

div r 3, H, r Hz ∂∂z x, y, z H.

Выберем систему координат так, чтобы векторный потенциал имел только одну компоненту Ax H y, Ax Az 0. В этом случае магнитное поле имеет только одну z-компоненту Н.

Импульс частицы можно выразить через ее кинетическую энергию:

Раскрывая векторное произведение в правой части

(I.2.8), имеем:

22

ex Vy H − ey Vx H ez 0

Отсюда сразу получаем Vz 0. Для двух других компонент скорости получаем:

Здесь мы ввели циклотронную частоту

Выражения (I.2.13) и (I.2.14) можно переписать в компонентах

23

Vz Vz0.

.

Интегрируя (I.2.15) по времени, получаем уравнения траектории:

x0 sin Ht ,

ларморовским радиусом или гирорадиусом.

Легко видеть, что траектория представляет собой спираль радиуса . Заметим, что циклотронная частота в нерелятивистском приближении не зависит от скорости частицы, H eHmc , но при приближении скорости света она заметно уменьшается. Это является причиной того, что в циклотроне нельзя ускорять частицы до релятивистских скоростей. Факт этот наблюдается экспериментально и является одним из прямых экспериментальных подтверждений теории относительности.

Как уже было замечено ранее, траекторию движения частицы в скрещенных (взаимно перпендикулярных) электрическом и магнитном полях можно получить из решения предыдущей задачи, перейдя с помощью преобразования

24

Лоренца в систему отсчета, в которой поля равны заданным величинам. Особенно просто это сделать в нерелятивистском случае, когда магнитное поле остается неизменным, а в движущейся со скоростью V системе появляется поле E′ − 1c V, H .

Получим траекторию частицы в однородных электрическом и магнитном полях для нерелятивистского случая прямым вычислением.

Пусть магнитное поле направлено вдоль оси z, а электрическое поле имеет две компоненты

H0, 0, H , E 0, Ey, Ez . Уравнения движения

внерелятивистском случае имеет вид:

m V eE ec V, H ,

что в компонентах можно переписать как:

m z eEz

Зависимость координаты z от времени получается сразу интегрированием по времени:

Снова введем комплексную скорость, умножим у-компоненту на i и сложим ее с х-компонентой. В результате имеем:

25