Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

обобщенной координаты q, то соответствующий обобщенный импульс не зависит от времени, dP/dt 0.

В качестве примера можно привести движение частицы в поле магнитного диполя. Поле магнитного диполя в сферической системе координат (r, , , помещенного в начало координат, может быть описано одной компонентой векторного потенциала

интегралом движения. Чтобы получить эту величину в явном виде, надо выразить компоненты скорости через обобщенные координаты и их

16

Покажем, что уравнения (I.1.1) в декартовой системе координат приобретают привычный вид. Правая часть уравнения (I.1.1) - это просто градиент лагранжиана:

∂∂Lr L ec A V − e .

Градиент скалярного произведения приводится к виду

A, V A, V V, A

A, , V V, , A .

Первый и третий члены равны нулю, т.к. в декартовых координатах компоненты скорости и координаты – независимые переменные. Таким образом,

С другой стороны,

Полную производную по времени можно преобразовать следующим образом:

Приравнивая (I.1.11) к (I.1.12), с использованием

(I.1.13), получаем:

17

ddtp − ec ∂∂At − e ec V, H .

.

Учитывая, что электрическое поле выражается через электростатический и векторный потенциалы

e ∂A -e ≡ eE, видим, что уравнение движения

c ∂t

(I.1.1) в декартовой системе координат имеет хорошо знакомый вид:

Хорошо известно, что в нерелятивистском случае стационарное магнитное поле не меняет энергии частицы. Покажем, что это утверждение остается справедливым и в релятивистском случае. Действительно,

dEdtkin eE V ec V, H V.

Очевидно, что последний член равен нулю. Таким образом, в стационарном магнитном поле кинетическая энергия является в отсутствие электрического поля интегралом движения. В

18

переменном магнитном поле всегда присутствует индукционное электрическое поле, и кинетическая энергия не сохраняется.

Задача

Найти функции Лагранжа и Гамильтона в нерелятивистском приближении.

Решение

Разлагая выражение (I.1.2) в ряд по отношению V/c, с точностью до членов V/c 2, имеем:

L −mc2 mV2 2 ec A V −e

Так как функция Лагранжа определена с точностью до постоянной, член mc2 можно отбросить. В результате получаем:

L mV2 2 ec A V − e .

Аналогичным образом для гамильтониана (формула I.1.6)) получаем:

H mV2 2 e .

19

1.2. Движение частиц в однородных и постоянных полях

Рассмотрим простейший случай движения релятивистской частицы в постоянном однородном электрическом поле. Будем использовать декартову систему координат. Пусть поле E const направлено вдоль оси х, а начальный импульс p0y – вдоль оси y. Уравнения движения сводятся к следующей системе:

Интегрируя один раз по времени, имеем:

Для того, чтобы получить зависимость координаты х от времени, воспользуемся выражением для кинетической энергии:

Интегрируя это выражение по времени, получаем зависимость координаты хот времени:

20