Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011
Пусть волна распространяется вдоль магнитного поля, т.е. 0. В этом случае из (IX.2.22) легко находим два типа решений:
kc |
2 |
|
g2. |
(IX.2.23) |
|
||||
|
|
|
|
|
и
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
Из (IX.2.23) получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
kc |
2 |
1 − |
|
pe2 |
− |
pi2 |
|
|
, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
He |
|
|
Hi |
|
|
|||
а |
из |
|
(IX.2.24) |
обычные |
продольные |
|||||||||
ленгмюровские волны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Уравнение |
(IX.2.24) |
описывает поперечные |
||||||||||||
волны, в которых E H. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Действительно, |
|
|
из |
|
|
условия |
||||||||
divD kxDx kyDy kzDz |
0. Из |
условия |
k H |
|||||||||||
имеем kx ky |
0. |
Следовательно, |
kzEz 0. |
На |
||||||||||
рис. |
29 показана |
зависимость величины |
|
kc |
2, |
|||||||||
|
||||||||||||||
равной отношению скорости света к фазовой скорости волны. В точках Hi и Hе отношение обращается в бесконечность, т.е. фазовая скорость обращается в ноль. В этих точках имеет место резонанс, существенным становится затухание Ландау в замагниченной плазме, и гидродинамическое описание неприменимо. При→ отношение стремится к единице, т.е. фазовая скорость приближается к скорости света. В нижней
полуплоскости отношение |
kc |
|
2 |
становится |
|
|
(IX.2.24)
(IX.2.25)
201
отрицательным, т.е. волны с таким отношением распространятся не могут.
Рассмотрим теперь случай распространения волн в направлении, перпендикулярном магнитному полю, /2. Уравнение (IX.2.22) переходит в следующее:
2 |
kc 4 |
2 |
2 |
|
kc |
2 |
|
|
|
|
|
|
− 2 − g |
|
|
|
|
|
(IX.2.26) |
|
|
|
|
||||||
2 − g2 0.
Это уравнение имеет два корня:
kc |
2 |
, |
(IX.2.27) |
|
|||
|
|
|
|
или
2 с2k2 2pe,
kc |
2 − |
g2 |
. |
|
|
||
|
|
||
Напомним, что условиями применимости этих формул являются следующие.
1. В параллельном направлении частица не
должна |
заметно |
сместиться |
за |
период, |
kvTj. Если это |
условие выполняется для |
|||
электронов, то оно выполлняется и для ионов.
Обратное бывает лишь |
в том случае, если |
Te/Ti me/mi . |
|
2. В перпендикулярном направлении длина волны должна быть велика по сравнению с
(IX.2.28)
(IX.2.29)
202
ларморовским радиусом, k 1. Если это условие выполняется для ионов, то оно выполняется и для электронов при тех же предположениях относительно отношения температур.
3. Частота возмущения не должна быть близка к так называемым частотам плазменных резонансов. В этом случае гидродинамическое описание неприменимо. Резонансные частоты определяются условием A 0, т.е.
Рис. 29. Зависимость отношения скорости света к фазовой скорости поперечной волны от частоты.
Распространение вдоль магнитного поля
1 − |
pe2 |
pi2 |
cos2 |
− |
(IX.2.30) |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|||
203
− |
|
|
pe2 |
|
|
|
|
|
|
pi2 |
sin2 0. |
|
||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||
|
|
− He |
|
|
|
|
− Hi |
|
|
|||||
Для случая, когда |
|
не слишком близко к Hi2 , |
|
|||||||||||
вкладом ионов, т.е. членом |
|
2 |
в скобках можно |
|
||||||||||
|
pi |
|
|
|||||||||||
|
2 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− Hi |
|
|
|
пренебречь, уравнение (IX.2.30) становится |
|
|||||||||||||
квадратным, а его решения имеют вид: |
|
|||||||||||||
|
|
|
1,22 |
|
|
1 |
|
pe2 He2 |
(IX.2.31) |
|||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12 2pe 2He − 4 2pe 2He cos2 1/2.
Вобласти ≈ Hi вкладом от ионов пренебрегать нельзя
|
|
32 |
Hi2 |
. |
|
|
|
|
(IX.2.32) |
||||||
Подставляя (IX.2.32) в (IX.2.30), получаем: |
|
||||||||||||||
1 − |
pe2 |
cos2 |
|
pe2 |
|
− |
|
pi2 |
|
sin2 0. |
(IX.2.32) |
||||
Hi2 |
|
He2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Здесь мы учли, что pe2 |
pi2 , |
He2 |
Hi2 . |
|
|||||||||||
Если, кроме того, предположить, что pe2 Hi2 , то |
|
||||||||||||||
можно пренебречь единицей в левой части и |
|
||||||||||||||
получить для простой водородной плазмы: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
me |
tg |
2 |
. |
|
|
(IX.2.33) |
|||||
|
|
− Hi |
mi |
|
|
|
|||||||||
Легко видеть, что для параллельного распространения волны гибридные частоты
204
переходят в ионную и электронную ларморовские частоты соответственно. Для перпендикулярного распространения волны /2 получаем соответственно:
|
1 |
pe2 |
He2 |
|
(IX.2.34) |
|
и |
|
|
|
|
|
|
2 |
He |
pi2 |
Hi2 |
. |
(IX.2.35) |
|
pe2 |
He2 |
|||||
|
|
|
|
Эти частоты называют верхней и нижней гибридными соответственно. Качественно вид зависимости квадрата отношения скорости света к фазовой скорости волны (это отношение является не чем иным, как коэффициентом преломления) представлен на рис. 30.
Рассмотрим частный случай волн, которые были
обнаружены в начале ХХ века при установлении радиосвязи на коротких волна. Их может наблюдать каждый, имеющий коротковолновый радиоприемник. При настройке на какую-то станцию в динамике раздается громктй свист. Это отзвук гроз в противоположном полушарии. Они приходят к нам, распространяясь вдоль силовых линий магнитного поля Земли.
Итак, |
рассмотрим |
область |
частот |
2 3 Hi, или |
pe2 / He. В |
|
|
He cos Hi, |
этих |
||
предположениях при вычислении g |
можно |
||
205