Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

k, H 0.

Подставим H из (IX.2.1) в (IX.2.2) и раскроем двойное векторное произведение

2D k2E − k k, E , c

или в компонентах

2	− k	2	k k	E	0.
c

Эта система уравнений имеет нетривиальные решения, если ее детерминант обращается в ноль:

det	2	− k	2	k k	0.
	c

(IX.2.4)

(IX.2.5)

(IX.2.6)

Аналогичная ситуация возникает в кристаллооптике. Там уравнение (IX.2.6) называют уравнением Френеля.

Вычислим в холодной магнитоактивной плазме, т.е. будем считать, что kvTe. В этом случае можно пренебречь такими кинетическими эффектами, как затухание Ландау, и производить вычисления в гидродинамическом приближении.

Разобьем поляризацию на электронную и ионную части, P Pe Pi. Из уравнения (IX.1.3) для каждой из них имеем:

− i Pj 4 jj 4 ZjnjVj,

(IX.2.7)

откуда находим вектор поляризации

196

P ∑Pj;	Pj 4 i	Zjenj	Vj.	(IX.2.8)

Здесь индекс j означает сорт частиц, j e, i. Zj означает знак заряда частицы. Мы будем

рассматривать

простую

электрон-протонную

плазму: Zi 1, Ze

−1. Vj

_ коллективная скорость

частиц.

Найдем скорости из уравнений движения

∂Vj

Zje

Vj, H ,

(IX.2.9)

∂t

или, в фурье-представлении,

− i Vj

Zje

E Hj Vj, h .

(IX.2.10)

ZjeH

Здесь введены ларморовские частоты Hj

mjc

и единичный вектор h H/H, направленный вдоль магнитного поля.

Пусть система координат выбрана так, что ось z направлена вдоль магнитного поля. Тогда систему (IX.2.10) можно переписать в компонентах так:

i Vjx	Zje	Ex HjVjy,	(IX.2.11)
	mj
i Vjy	Zje	Ey − HjVjx,	(IX.2.12)
	mj

197

i Vjz	Zje	Ez.	(IX.2.13)
	mj

Уравнение (IX.2.13) содержит только z-компоненту скорости, а (IX.2.11) и (IX.2.12),

напротив, ее не содержат. Таким образом, она отщепляется. Выразим скорости через электрическое поле с помощью (IX.2.11) _ (IX.2.13) и подставим (IX.2.8). Используя условие квазинейтральности ni ne ≡ n, получаем:

Px i ∑	pj	i Ey HjEx				,	(IX.2.14)
Px i ∑				2	2	,	(IX.2.14)
j					− Hj
j			j
			j
Py i ∑	pj	HjEy i Ex				,	(IX.2.15)
Py i ∑				2	2	,	(IX.2.15)
j					− Hj
j			j
			j
Pz − ∑			pj		2Ez.		(IX.2.16)
Pz − ∑					2Ez.		(IX.2.16)
			j

Пользуясь этими соотношениями и связью между P и E (IX.1.9), (IX.1.10), находим компоненты тензоров и :

хх хх − ∑		pj2	,	xx yy	(IX.2.17)
	2	2
j		− Hj

198

1 −∑

pj2

− Hj

zz − ∑

pj2

; zz

−

∑

pj2

(IX.2.18)

В этом выражении обычно можно пренебречь

членом, пропорциональным

pi2 ,

и пользоваться

выражением zz 1

−

p2е

xy − yx

∑

pj2 Hj

(IX.2.19)

− Hj

xy xy − yx,

(IX.2.20)

yz 0.

Введя

xy ≡ ig,

обозначения

xx ≡ , zz ≡ ,

запишем

тензор

диэлектрической проницаемости в виде

199

			ig	0
		−ig		0	.	(IX.2.21)

Влитературе иногда также встречаются обозначения: ≡ ; ≡ .

Заметим, что все компоненты этого тензора не

зависят от волнового вектора.

Итак, теперь мы можем выразить все коэффициенты в дисперсионном уравнении (IX.2.6) через и k. После простых, но громоздких вычислений можно получить:

A		kc	4 B	kc	2 C 0.	(IX.2.22)


Здесь	sin2 cos2 , B − 1 cos
A k−2 k k
					угол	между
C 2 − g2 , kH0				−
направлениями		волнового		вектора и магнитного

поля.

Так как функции A, B и C, так же, как и тензор, не зависят от волнового вектора, решение биквадратного уравнения (IX.2.22) позволяет найти зависимость фазовой скорости /k от частоты. Уравнение (IX.2.22) биквадратное, поэтому имеются два решения для квадрата фазовой скорости, т.е. два типа волн.

В общем случае выражение для фазовой скорости очень громоздко, поэтому рассмотрим некоторые частные случаи.

200

Источник: https://studfile.net/preview/16708796/

Смотрите также:



_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "
"Логистическая технология JIT"