Для аппроксимации производных по времени и по вертикали в спектральных моделях используют конечно-разностные аналоги. Следует рассмотреть разные методы аппроксимации производных по времени в спектральных моделях атмосферы.
Несколько обособленно среди всех методов решения уравнений стоит метод конечных элементов, который относится к проекционно-сеточным методам. Этот метод использует представление полей метеорологических величин в ряд, но не глобально, а локально на ограниченном пространстве - конечном носителе. Получаемая система уравнений аналогично системе уравнений., получаемой при использовании метода сеток. Необходимо изучить представление метеорологических величин по финитным функциям и получение системы уравнений для решения на примере нелинейного уравнения адвекции.
Литература
[1], [7], [11]
Вопросы для самопроверки
1.В чём основная суть спектральных методов решения уравнений гидродинамики атмосферы?
2.Почему спектральные методы решения уравнений гидродинамики атмосферы называются проекционными?
3.Как в спектральных моделях рассчитываются производные по времени и вертикали? Почему?
4.Какие требования предъявляются к базисным функциям?
5.Какое из свойств базисных функций используется при выводе определяющей системы уравнений?
6.Что такое определяющая система уравнений?
7.Почему метод коэффициентов взаимодействия не используется сегодня в оперативных моделях прогноза погоды?
8.Почему метод коллокации при получении определяющей системы уравнений редко используется при построении моделей прогноза погоды7
9.В чём достоинства метода конечных элементов?
Специальные схемы интегрирования уравнений гидротермодинамики атмосферы
Для решения некоторых задач гидродинамического моделирования требуются специальные схемы. Специальными называются схемы, обладающие определёнными свойствами.
Необходимо изучить какие системы уравнений являются жесткими.
31
К специальным схемам в первую очередь относятся консервативные схемы, которые обеспечивают сохранение суммарного или среднего значения моделируемой функции.
Очень популярны при решении экологических задач и задач переноса малых атмосферных примесей монотонные схемы. Монотонными называется схемы, которые переводят монотонную функцию в монотонную с тем же направлением роста.
Монотонные схемы очень сложны для реализации, поэтому их часто заменяют квазимонотонными схемами, к которым можно отнести схемы коррекции потоков, TVD-схемы, схемы кабаре.
Необходимо изучить все перечисленные схемы, научиться аппроксимировать любое уравнение переноса вышеперечисленными схемами.
Л и т е р а т у р а
[2], [5], [7]
Вопросы для самопроверки
1.В каких задачах нельзя использовать стандартные конечноразностные схемы?
2.Что такое стандартные конечно-разностные схемы?
3.Что такое монотонная функция?
4.Что такое монотонная схема?
5.Какие уравнения решаются с использованием монотонных схем?
6.Чем монотонные схемы отличаются от квазимонотонных?
7.Что такое ограничитель в TVD-схемах?
8.Что такое полулагранжев подход?
9.Какая схема является самой простой монотонной схемой?
10.Используются в современных гидродинамических моделях прогноза погоды монотонные схемы?
11.Какие схемы используются при решении жестких задач?
Различные схемы интегрирования уравнений гидротермодинамики атмосферы по времени (на примере уравнений модели «мелкой воды»)
Любое уравнение можно аппроксимировать с использованием явной, неявной и полунеявной схемы.
Необходимо научиться аппроксимировать уравнения гидродинамики атмосферы явной и неявной схемами и разрабатывать алгоритмы реализации этих схем.
32
Для моделей мелкой воды возможны четыре варианта полунеявной схемы. Необходимо научиться аппроксимировать уравнения с использованием полунеявной схемы.
Обратить внимание на различные алгоритмы реализации полунеявных алгоритмов.
Изучить достоинства и недостатки различных полунеявных схем.
Л и т е р а т у р а
[7], [8]
Вопросы для самопроверки
1.Что такое явная схема?
2.Что такое неявная схема?
3.Что такое полунеявная схема?
4.Какая схема обеспечивает большую устойчивость решения?
5.Какая схема решения более проста при практической реализации?
6.Какие слагаемые в полунеяных схемах эффективнее записывать по неявной схеме?
7.Возможно решение уравнений аппроксимированных полунеявной схеме без итераций?
Повышение точности интегрирования уравнений по вертикали
Во многих уравнениях гидродинамики атмосферы присутствует производные по вертикали. Обычно разрешение моделей по вертикали меньше разрешения по горизонтали. Производными по вертикали могут быть аппроксимированы стандартными конечно-разностными второго или первого порядка точности.
Для увеличения точности расчёта производных по вертикали используются расшатанные сетки. Расшатанные сетки по способу распределения зависимых переменных подразделяются на сетки Лоренца и Чарни-Филлипса.
Необходимо изучить различные сетки и научиться аппроксимировать уравнения гидродинамики на различных сетках.
Л и т е р а т у р а
[12]
Вопросы для самопроверки
33
1.Нарисуйте сетку Лоренца.
2.Нарисуйте сетку Чарни-Филлипса.
|
|
|
|
3. |
Аппроксимируйте производную |
|
на сетке Чарни-Филлипса. |
|
|||
|
|
p |
|
|
|
|
|
4. |
Аппроксимируйте производную |
|
на сетке Лоренца. |
|
|||
|
|
p |
|
|
|
|
|
5. |
Аппроксимируйте производную |
|
на нерасшатанной сетке. |
|
|||
p
Исследование чувствительности гидродинамических моделей атмосферы
В гидродинамических моделях атмосферы много неопределённостей и неточностей. Для изучения влияние различных компонент прогностической системы на качество прогноза исследуют чувствительность гидродинамической модели к различным параметрам модели.
Необходимо изучить прямой метод исследования чувствительности.
Л и т е р а т у р а
[7]
Вопросы для самопроверки
1.Что такое чувствительность?
2.Что такое прямой метод определения чувствительности гидродинамических моделей атмосферы?
3.Как можно использовать чувствительность гидродинамических моделей атмосферы?
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Общие указания
К выполнению контрольных работ следует приступить после тщательного изучения рекомендованных глав литературы.
В результате самостоятельного изучения дисциплины необходимо выполнить две контрольных работы, каждая из которых состоит из 10 заданий. Каждое задание дано в 10 вариантах. В приложении приведено 100 видов со-
34
четаний разных вариантов этих заданий. Студент выполняет обе контрольные работы с таким сочетанием вариантов, номер которого соответствует последним двум цифрам номера его зачетной книжки. Например, если последние две цифры номера зачетной книжки 54, студент выполняет контрольную работу под номером сочетания 54. Как видно из приложения, при решении первого задания следует отвечать на вопрос «в», пятого – на вопрос «д», седьмого – на вопрос «д» и т. д.
Ответы на вопросы контрольной работы должны быть сформулированы достаточно подробно, чтобы был ясен физический смысл излагаемого материала, который должен быть подтвержден математическими формулами. Все выводы должны быть обоснованы.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
1.Запишите систему уравнений гидродинамики атмосферы в адиабатическом и квазистатическом приближении в заданных координатах и выполните задание. Обоснуйте свои результаты.
а) сферическая система координат по горизонтали, декартова система по вертикали. Отметьте нелинейные слагаемые.
б) декартова система координат по горизонтали, декартова система по вертикали. Отметьте слагаемые, описывающие волны Россби.
в) сферическая система координат по горизонтали, изобарическая система по вертикали. Отметьте линейные слагаемые.
г) декартова система координат по горизонтали, изобарическая система по вертикали. Отметьте слагаемые, описывающие действующие в атмосфере силы.
д) сферическая система координат по горизонтали, сигма система по вертикали. Отметьте слагаемые, описывающие адвективные процессы.
е) декартова система координат по горизонтали, сигма система по вертикали. Отметьте, описывающие процессы адаптации.
ё) декартова система координат по горизонтали, декартова система по вертикали. Отметьте прогностические уравнения.
ж) сферическая система координат по горизонтали, сигма система по вертикали. Отметьте диагностические уравнения.
и) сферическая система координат по горизонтали, сигма система по вертикали. Отметьте слагаемые, описывающие силу барического градиента.
з) сферическая система координат по горизонтали, сигма система по вертикали. Отметьте слагаемые, описывающие силу Кориолиса.
2.Преобразуйте уравнения полной системы, учитывающие следующие упрощающие и фильтрующие гипотезы.
35