7. Можно использовать при решении уравнения адвекции для аппроксимации производной по времени направленных разностей назад?
Повышение порядка точности аппроксимации производных
Стандартные конечно-разностные аналоги производных имеют первый или второй порядок точности. При решении большого количества задач такой порядок точности недостаточен для получения решения удовлетворительной точности.
Изучить возможности повышения порядка точности аппроксимации с привлечением дополнительных точек.
Уметь получать конечно-разностный аналог четвёртого порядка точно-
сти.
Изучить достоинства и недостатки конечно-разностного аналога четвёртого порядка точности по сравнению с конечно-разностным аналогом второго порядка точности.
Л и т е р а т у р а
[7]
Вопросы для самопроверки
1.Чем определяется точность аппроксимации производной?
2.Что такое ошибка аппроксимации?
3.Как можно повысить порядок точности конечно-разностного аналога?
4.Получите конечно-разностный аналог третьей производной на основе центральных разностей.
5.Получите конечно-разностный аналог первой производной шестого порядка точности.
Метод шагов по времени
В гидродинамических моделях атмосферы уравнения решаются методом шагов по времени, который заключается в том, что весть прогностический интервал делится на небольшие интервалы времени и на каждом интервале рассчитывается производная по времени. Зная, как меняется функция во времени (производную по времени), находят значение функции в конце рассматриваемого интервала.
21
Необходимо изучить методику аппроксимации производной по времени, способы аппроксимации уравнений с точки зрения шагов по времени.
Обратить внимание на реализацию алгоритма метода шагов по времени. Необходимо изучить классификацию схем по количеству моментов
времени в ней – двухуровенные, трёхуровенные схемы.
Изучить особенности двухуровенных и трехуровенных схем.
Особое внимание уделить изучение алгоритма решения уравнений с использованием двух- и трёхуровенных схем.
Обратить внимание на необходимость постановки дополнительных «вычислительных» начальных условий при использовании трехуровенных схем.
Изучить особенности ошибок, которые возникают при использовании трёхуровенных схем – вычислительных мод.
Изучить методики борьбы с вычислительными модами (фильтр Ассели-
на).
Л и т е р а т у р а
[2], [5], [6], [7], [8], [9], [12]
Вопросы для самопроверки
1.Какие схемы представления производной по времени называют явными и какие неявными?
2.В чём суть метода шагов по времени?
3.Чем отличается метод решения уравнений аппроксимированных явной и неявной схемой?
4.В чём смысл вычислительной вязкости?
5.Что такое и зачем нужны вычислительные начальные условия?
6.Какая схема называется трёхуровенной?
7.Сколько вычислительных начальных условий необходимо поставить для пятиуровенной схемы?
8.Что такое вычислительная мода?
9.Напишите фильтр Асселина.
10.Нарисуйте график решения, в котором присутствует вычислительная
мода?
11.Какую схему по времени лучше использовать на первом шаге по времени для подавления вычислительной моды?
22
Анализ ошибок, возникающих при аппроксимации линейного уравнения адвекции конечными разностями
Уравнения гидродинамики атмосферы решаются приближенными методами и поэтому при моделировании всегда возникают ошибки. Проанализировать ошибки, возникающие при решении системы уравнений гидродинамики атмосферы практически невозможно из-за сложности решаемых систем. Для разработки новых схем интегрирования уравнений, анализа уже существующих схем, выбора наиболее эффективной схемы для конкретной задачи используются более простые уравнения, самое простое из которых линейное уравнение адвекции.
Линейное уравнение адвекции содержит слагаемое, которое присутствует в большинстве уравнений гидродинамики атмосферы, но линейное уравнение довольно простое для анализа и известно точное решение этого уравнения. Это позволяет легко сравнивать приближенное (численное) решение уравнения с точным и делать выводы о качестве анализируемых численных схем.
Необходимо изучить ошибки, возникающие при использовании ко- нечно-разностных методов и научиться их анализировать на примере линейного уравнения адвекции.
Обратить внимание на следующие характеристики конечноразностных схем:
ошибка аппроксимации;
порядок точности;
вязкость конечно-разностных схем;
коэффициент вязкости;
согласованность конечно-разностных схем;
устойчивость схемы;
сходимость конечно-разностных схем;
фазовая скорость;
групповая скорость;
ошибка в описании фазы.
Необходимо уметь анализировать все перечисленные ошибки для любой схемы применённой к линейному уравнению адвекции.
Обратите внимание на анализ ошибки аппроксимации, которая является причиной большинства неточностей и ошибок возникающих при моделировании атмосферных процессов. Одной из самых сложных проблем возникающей при интегрировании прогностических уравнений, является вычислительная неустойчивость решения, возникновение которой зависит от схемы интегрирования во времени. Изучите методы Неймана для анализа устойчивости. Разберитесь, как на основе анализа устойчивости выбирается шаг интегрирования по времени. Обратите внимание на критерий Куранта-Фридрихся-Леви. Изу-
23
чите причины возникновения вычислительной дисперсии и методы анализа искажения скоростей при аппроксимации уравнения адвекции различными ко- нечно-разностными схемами.
Л и т е р а т у р а
[2], [5], [6], [7], [8], [9]
Вопросы для самопроверки
1.Почему при математическом моделировании атмосферных процессов возникают ошибки?
2.Какие ошибки возникают при использовании конечных разностей?
3.Что такое ошибка аппроксимации?
4.Как проявляется вычислительная вязкость при решении уравнений методом конечных разностей?
5.Возможно ли использование несогласованных конечноразностных схем? Почему?
6.Можно ли использовать конечно-разностных схем с вычислительной вязкостью?
7.Что такое критерий устойчивости?
8.Что такое критерий Куранта-Фридрихся-Леви?
9.Что такое число Куранта?
10.В чём суть метода Неймана?
11.Аппроксимируйте линейное уравнение адвекции конечноразностной схемой обладающей вторым порядком точности по времени и по пространству.
Схемы интегрирования по времени
Схема интегрирования по времени это методика аппроксимации производной по времени и метод записи слагаемых, не содержащих производную по времени.
Все схемы интегрирования по времени подразделяются на явные, неявные и полунеявные.
Необходимо изучить методику аппроксимации уравнений по этим схемам и уметь любое уравнение аппроксимировать по времени.
Необходимо изучить алгоритмы решения уравнений гидродинамики атмосферы по явным, неявным и полунеявным схемам.
Обратить внимание на разные свойства схем интегрирования по време-
ни.
24
Все схемы интегрирования по времени характеризуются количеством моментов времени, которые присутствуют в конечно-разностном аналоге уравнения. Чаще всего используются в практике двух- и трёхуровенные схемы.
Необходимо изучить характеристики различных схем интегрирования по времени, их достоинства и недостатки, особенности вычислительных алгоритмов при использовании двух- и трёхуровенных схем.
Л и т е р а т у р а
[2], [5], [6], [7], [8], [9]
Вопросы для самопроверки
1.Что такое схема интегрирования по времени?
2.Почему говорят об интегрировании дифференциальных уравнений?
3.Чем определяется уровенность схемы по времени?
4.Связана уровенность конечно-разностной схемы в порядком точности?
5.Что такое явные, неявные схемы?
6.В чём достоинства неявных схем?
7.Какие схемы чаще используются в современных прогностических моделях?
Устойчивость конечно-разностных схем
В общем случае устойчивость означает, что малые возмущения (ошибок) в начальных данных и правой части уравнений приводят к малому возмущению решения. При моделировании атмосферных процессов всегда присутствуют ошибки, связанные с неточностью в начальных данных, с неточностью методов решения уравнений, с ошибками округлением при реализации моделей на компьютерах, с неточностью описания физических процессов.
Устойчивость является очень важным свойством численных схем решения уравнений гидродинамики атмосферы. При реализациях моделей на компьютерах неустойчивость конечно-разностных схем вызывает проблемы, связанные с невозможностью представления чисел.
Наличие устойчивости является необходимым (но не достаточным) условием сходимости (приближением) приближенного решения к точному.
Необходимо изучить все определения устойчивости и методы определения устойчивости конечно-разностных схем.
Л и т е р а т у р а
25