[2], [5], [6], [7], [8], [9]
Вопросы для самопроверки
1.Что такое устойчивость конечно-разностных схем?
2.Чем определяется устойчивость конечно-разностных схем?
3.Как проявляется неустойчивость при численном интегрировании?
4.Возможно ли использование неустойчивых схем при решении уравнений гидродинамики атмосферы?
5.Как связана устойчивость и сходимость?
6.Как связаны устойчивость и порядок точности аппроксимации производных?
7.Какая схема устойчивее явная или неявная?
8.Каким образом можно повысить устойчивость конечно-разностной схемы?
9.От каких характеристик конечно-разностной схемы зависит устойчивость?
Анализ дисперсионных свойств
Дисперсионные свойства конечно-разностных схем отвечают за точность описания скоростей переноса отдельных волн и энергии в решении уравнения.
Необходимо изучить методику анализа дисперсионных свойств разных схем на примере линейного уравнения адвекции. Сравнить полученный результат с точными значениями фазовой и групповой скоростей.
Л и т е р а т у р а
[7], [8], [9]
Вопросы для самопроверки
1.Что такое дисперсионные свойства конечно-разностных схем?
2.Что значит ускоряющая схема?
3.Какая схема лучше ускоряющая или замедляющая?
4.Что значит схема «лучшая»?
5.Как создать конечно-разностный аналог уравнения обладающий лучшими дисперсионными свойствами?
6.Чему равна фазовая скорость решения линейного уравнения адвекции?
7.Скорость какой волны будет искажаться больше двухшаговой или семишаговой?
26
Уравнения колебаний, трения. Конечно-разностная аппроксимация и анализ. Анализ изменения фазы решения
Кроме уравнения адвекции очень часто для анализа численных методов решения используются уравнения колебаний и трения. Точные решения этих уравнений известны и можно оценить ошибки использования численных методов решения простым сравнением. Эти уравнения более простые, чем уравнение колебания, поэтому и процедура исследования свойств и анализ результатов более простой.
Необходимо научиться аппроксимировать уравнение колебания и трения конечно-разностными схемами.
Необходимо изучить методы анализа следующих ошибок
ошибка аппроксимации;
порядок точности;
вязкость конечно-разностных схем;
коэффициент вязкости;
согласованность конечно-разностных схем;
устойчивость схемы;
сходимость конечно-разностных схем;
фазовая скорость;
групповая скорость;
ошибка в описании фазы.
Особое внимание уделить на анализ ошибки в описании фазы, которая очень сложно анализируется в случае линейного уравнения адвекции.
Литература
[7], [8], [9]
Вопросы для самопроверки
1.Что такое ошибка аппроксимации? Как она рассчитывается?
2.Что такое согласованность конечно-разностных аналогов и схем интегрирования по времени?
3.К чему приводит неустойчивость конечно-разностных схем?
4.В чём суть анализа устойчивости методом Неймана?
5.Как можно проанализировать дисперсионные свойства конечноразностных аналогов?
27
Нелинейное уравнение адвекции. Нелинейная вычислительная неустойчивость
Нелинейное уравнение адвекции более близко по своим характеристикам к основным уравнениям гидродинамики, чем линейное уравнение, но и более сложное.
Необходимо обратить внимание, чем линейное уравнение отличается от нелинейного и уметь различать линейные и нелинейные слагаемые в уравнениях.
Нелинейные слагаемые описывают нелинейное взаимодействие волн, в результате которого возникают новые волны. Необходимо изучить алгоритм определения длин волн, которые возникают за счёт нелинейного взаимодействия.
Обратить особое внимание на особенности появления ошибок ложного представления и возникновения нелинейной вычислительной неустойчивости.
Рассмотреть методы борьбы с нелинейной вычислительной неустойчи-
вости.
Л и т е р а т у р а
[7], [8], [9]
Вопросы для самопроверки
1.Чем линейное уравнение отличается от нелинейного?
2.Что такое нелинейное взаимодействие?
3.Какие волны возникнут в результате нелинейного взаимодействия двух четырёхшаговых волн?
4.Каким образом можно предотвратить появление нелинейной вычислительной неустойчивости?
5.Что такое ошибки ложного представления?
6.Что является причиной появления нелинейной вычислительной неустойчивости?
7.Возникнет ли нелинейная вычислительная неустойчивость при решении уравнения колебаний?
Аппроксимация уравнениймодели мелкой воды на расшатанных и нерасшатанных сетках
Изучить аппроксимацию уравнений гидродинамики на примере уравнений модели мелкой воды.
Необходимо уметь аппроксимировать любые уравнения на любых сет-
ках.
28
Необходимо научиться использовать операторы дифференцирования и сглаживания для аппроксимации уравнений.
Обратите внимание на то, что при аппроксимации уравнений, особенно на расшатанных сетках, используются дополнительные сглаживания.
Л и т е р а т у р а
[7], [8], [9]
Вопросы для самопроверки
1.Что такое аппроксимация уравнений методом конечных разностей?
2.Что такое сетка?
3.Что такое расшатанная сетка?
4.Можно ли использовать стандартные операторы дифференцирования при аппроксимации производных направленными разностями назад?
5.Для какого узла сетки С Аракавы надо аппроксимировать уравнение зональной составляющей скорости ветра?
6.На какой сетке удобнее всего аппроксимировать уравнения гидродинамики атмосферы?
7.Какая сетка требует большего количества сглаживаний?
Система уравнений гидротермодинамики атмосферы в сферической системе координат
В современных гидродинамических моделях атмосферы часто все уравнения гидродинамики записываются в сферической системе координат, которая позволяет более корректно описывать форму Земли.
Необходимо уметь записывать уравнения гидродинамики атмосферы в сферической системе координат.
Необходимо изучить достоинства и недостатки сферической системы координат.
Необходимо обратить внимание изучение методов решения проблемы полюсов и преодоление отрицательного влияния сходимости меридианов.
Необходимо изучить сферическую систему координат со смещённым полюсом.
Л и т е р а т у р а
[1], [3], [4], [7], [11], [12]
29
Вопросы для самопроверки
1.Какие независимые переменные используются в сферической системе координат?
2.Где расположено начало сферической системы координат?
3.Что такое коэффициенты Ламе?
4.Какие коэффициенты Ламе используются в сферической системе координат?
5.Что такое проблема полюса?
6.Что такое сходимость меридианов?
7.Почему сходимость меридианов является проблемой при решении уравнений гидродинамики атмосферы?
8.Что такое система координат со сдвинутым полюсом?
9.Что такое особая точка в сферической системе координат?
Спектральные методы решения уравнений гидродинамики атмосферы
Перед изучением данного раздела стоит повторить основные свойства рядов, операций с ними. В метеорологии ряды используются очень широко как в прогнозе, так и в анализе атмосферных процессов. Спектральные методы решения уравнений гидродинамики атмосферы основаны на представлении полей метеорологических величин в виде рядов по определённым базисным функциям. Спектральные методы являются проекционными методами, в которых физическое пространство проецируется в фазовое и прогнозируются не сами метеорологические величины, а их коэффициенты разложения.
Необходимо изучить принципы, по которым выбираются базисные функции для разложения в ряд метеорологических величин. Изучить основные свойства тригонометрических и сферических функций. Знать методику определения коэффициентов разложения в ряд по сферическим и тригонометрическим функциям.
Для решения уравнений гидродинамики спектральными методами строят определяющую систему уравнений. Для её построения используют методы минимизации невязки: метод коллокации, метод наименьших квадратов и метод Галёркина. Необходимо изучить основные принципы построения определяющей системы уравнений на примере линейного и нелинейного уравнения адвекции.
Для решения определяющей системы уравнений используются в основном три метода: метод коэффициентов взаимодействия, метод спектральносеточного преобразования и псевдоспектральный метод. Необходимо изучить применение этих методов на примере нелинейного уравнения адвекции.
30