Материал: Неопределенные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по дисциплине Математика. Бондарев А.В., Ряжских А.В

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

x a

Aln x a C .

x a

k 1

II.

dx A

x a

dx A

x a

Ax B

III.

px q

2x p

ln x

px q

ln x

px q

2B Ap

arctg

2x p

4q p

IV. Рассмотрим интегрирование простейшей дроби IV типа на примере:

		2		dx																	dx					.		Сделаем замену											x 2 3 tg t ,
	x	2	4x 13									2						x 2				2	9		2



тогда dx								3						dt		,		t arctg					x 2			. Следовательно,
тогда dx								cos		2			t	dt		,		t arctg						3		. Следовательно,
										2

				dx																	3 dt														3dt

	x 2				2		9				2								9 tg2t 9					2 cos2 t									9			2		2
																																				cos			t
																																		2		cos			t
																															cos				t
	1					2									1					1 cos 2t								1				1
				cos				t dt																dt						t			sin 2t				C
				cos				t dt						27										dt						t			sin 2t				C
	27													27							2						54					2
	1								x+2						1									x+2
			arctg														sin				2arctg								C.
	54		arctg					3							2		sin				2arctg			3					C.
	54							3							2									3

6.2. Разложение рациональной дроби на простейшие

Теорема. Всякую правильную рациональную дробь	P x	,
Теорема. Всякую правильную рациональную дробь	Q x	,
	Q x
знаменатель которой разложен на множители
Q x x x1 k1 x x2 k2 x2 p1x q1 s1 x2 pm x qm sm ,

можно представить (и притом единственным образом) в виде суммы простейших дробей:

P	x						A								A											A					B												B
							A								A					...								k			B												B
							1								2					...								1					1										2
							1								2													1	1				1										2
					x x			k				x x						k	1										1	x x						k			x x					k	1
Q	x							1										1							x x												2							2
								1										1																			2							2
							1								1																		2										2
			B									C x D														C x D														C		s	x D
...				k		...						C x D														C x D							...									s		s
...					2	...								1			1										2			2			...									1		1
					2									1			1										2			2												1		1
		x x							x											s			x								s 1							x		2	p x q
		x x									2	p x q								1				2		p x q					1							x			p x q
						2						p x q								1						p x q					1												1		1
															1			1										1		1
						M	x N											M		2	x N			2							M s				x Ns									16
...						1			1											2				2					...					m						m			,
...		x										s			x												s	1	...		x	2	p					x q					,
				2	p		x q						m			2	p					x q					m				x		p					x q
					p		x q						m				p					x q					m									m					m
							m			m										m				m

где

A , A		,..., B , B		,..., C , D ,..., M			, N	,...
1	2	1	2	1	1	1	1

– некоторые действи-

тельные коэффициенты.

Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:

x2 4

;

x 2 x 3 3

x 2

x 3 3

x 3 2

x 3

;

x2 1

Cx D

x 1

x 2

x2 x 1

x 2

Для нахождения коэффициентов

A1, A2 ,..., B1, B2

Mx N		.

x2 x 1	2

,... в равен-

стве (16) можно использовать метод неопределенных коэффици-

ентов. Суть метода состоит в следующем:

1. В правой части равенства (16) приведем дроби к общему знаменателю Q x ; в результате получим тождество

P Q



x x



S Q



x x



, где

S x

– многочлен с неопределенными коэф-

фициентами.

2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т.е.

P x

(17)

3.Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x

вобеих частях тождества (17), получим систему линейных уравнений, из которой определяются искомые коэффициенты

A , A		,..., B , B		,...
1	2	1	2

Пример. Представить дробь

x	2	2
	2

x 1

x 2

в виде суммы

простейших дробей. Согласно (16), имеем:

x	2	2	A	A	A	B
							.
			1	2	3

						x 1		3	x 2				x 1			3	x 1				2	x 1		x 2
								3								3					2
Приводя к общему знаменателю, получим:
		x	2	2																			2				3
			2				A				x 2		A	x	1		x 2	A				x 1	2	x 2	B	x 1	3
x 1					x 2			1					2				x 1				3						.
								1					2								3
				3															3	x 2
				3															3
Приравниваем числители:																	A A 3A 3B x
x	2	2 A B x								3	A 3B x				2		A A 3A 3B x
	2									3					2
						3						2					1			2		3
2A 2A 2A B .
					1	2				3

Приравнивая коэффициенты при x3 , x2 , x1, x0 (свободный член),

получим систему линейных уравнений для определения коэффициентов:

0 A3 B

1 A2 3B

0 A1 A2 3A3 3B2 2A1 2A2 2A3 B.

Решая эту систему, найдем:					A1
Следовательно,
x	2	2		1

x 1		3	x 2	x 1	3
						3

1 2

1 3

2 x 1

2 9

B	2
	9

2		.
x 2

6.3. Интегрирование любых дробно-рациональных функций

Сформулируем общее правило интегрирования рациональных дробей.

1.Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби;

2.Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;

3.Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Пример 1. Найти интеграл

	x	2
	x

xdx

1 x 1

. Под знаком ин-

теграла правильная дробь. Разложим ее на простейшие дроби:

		x	Ax

		x2 1 x 1	x2
Следовательно,	x Ax B x 1 C

x A C x2 A B

B	C	.

1	x 1

x	2	1 .
	2

x B C .

Приравнивая коэффициенты при x2 , x1 , x0 , получим систему линейных уравнений для определения коэффициентов:

0 A C

1 A B

0 B C.

Решая эту систему, находим:

									1	x		1
		x dx							2	x		2
		x dx

x2		1		x 1					x2 1
x2		1		x 1					x2 1


	1	x dx			1		dx				1
	2	x	2	1	2	x	2	1			2
	2	x		1	2	x		1			2

A 1

	dx
	x 1
	x 1

	1	,
	2	,
	2


	dx

	B	1
	B	2
		2

1 2

ln x	2

x
x	2

1

	1	. Тогда

	2
1		dx	1	dx
1			2	x 1

1 arctg x

1 ln x 1 C.

Пример 2. Найти интеграл

x	5	2x		3	4x 4

	x	4	2x		3	2x	2	dx

. Под зна-

ком интеграла неправильная дробь. Выделим ее целую часть путем деления числителя на знаменатель:


x	5	2x		3	4x 4				4x	3		4x	2		4x 4
								x 2
	x	4	2x		3	2x	2		x		4	2x		3	2x	2

Разложим правильную дробь на простейшие дроби:

4x3 4x2 4x 4

A B

Cx D

x4 2x3 2x2

x2 x2 2x 2

x2 2x 2

4x3 4x2 4x 4 Ax x2 2x 2 B x2 2x 2 Cx D x2 .

4x 4

A C x

2A B D x

2A 2B x 2B.

Приравнивая коэффициенты при

, получим систему

, x

, x , x

линейных уравнений для определения коэффициентов:

A C 4

2 A B

2 A 2B 4

Решая эту систему, находим: A 0 ,

B 2 ,

C 4 , D 2 . Тогда

4x3 4x2 4x 4

4x 2

x4 2x3 2x2

x2 2x 2

Источник: https://studfile.net/preview/16563427/

Смотрите также:

Актуальні питання права інтелектуальної власності
Анализ методов осветления сыворотки при производстве сывороточных напитков
Барабанная мельница без мелющих тел
Господарське
Любимый трамвай в сатирических произведениях М. Зощенко, И. Ильфа и Е. Петрова
Набор хромосом у растений
Особливості ведення операцій на рахунку 315 'Спеціальні рахунки в національній валюті'
Острые кишечные инфекции, вызванные условно-патогенной флорой
Охрана труда в аптечных организациях
Построение псевдослучайных последовательностей