Материал: Неопределенные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по дисциплине Математика. Бондарев А.В., Ряжских А.В

x

2

4x 4

1.

x x

2

4

dx

4.

2

x 7

dx

x

4x

5

7.

2

x 4

dx

x

2x

10

10.

x

3

dx

x2 3

2.

4x 3

dx

x

2

x 3

5.

2

x 6

dx

2x

x

10

8.

xdx

(x

1)

2

(x

2)

x

2

2x 4

11.

x2 4

dx

x 1

3.

x2 x 2

dx

x 1

6.

2

x 2

dx

x

6x 13

x

2

6x 6

9.

x

2

3x x

2

dx

6x 3

dx

12.

x(x2 1)

13.

16.

19.

x

3

dx

(x

2

1)(x 1)

14.

17.

20.

x 3

dx

x2

x 1

3

(3x 7)dx

x

3

4x

2

4x 16

x

2

8x 4

x2

4x

dx

x 1

15.

18.

21.

x

2

4x 2

x

2

x

x 2

dx

dx

x

3

x

2

4 x 4

3 2x

dx

x

2

x2

3

подстановки

t tg

x

, которая называется

2

tg

x

, а следовательно, и через t:

2

2sin

x

cos

x

2sin

x

cos

x

2tg

x

2

2

2

2

2

sin x

1

x

x

x

sin

2

cos

2

1+tg

2

2

2

2

cos2

x

sin

2 x

cos2

x

sin2

x

1 tg2

x

cos x

2

2

2

2

2

1

sin

2 x

cos

2

1+tg

2

x

x

2

2

2

x

2arctg t , dx

2dt

.

1

t

2

Поэтому

2t

1 t

2

2

R sin x, cos x dx R

1 t

2 ;

1 t

2

1

t

2 dt

где

R1 t – рациональная функция от t.

t dt

R

1

dx

dt

t

1

2

лу от рациональной функции

R

dt

.

1

t

2

t tg x , так как

sin

2

x

и

cos

2

x

выражаются рацио-

cos

2

x

1

1 tg

2

x

tg

2

x

sin

2

x

1 tg

2

x

dx

dt

t

1

2

ную подстановку

t tg

x

. Тогда

dx

2dt

,

sin x

2t

2

1 t

2

1 t

2

1 t

2

cos x

1

t

2

. Следовательно,

dx

2dt

2

2

dt

3 sin x cos x

3

2t

2

1 t

2

t

t 2

1 t2

1

t

1

t

1

t

1

1 2 tg

x

d t

2

2

2

2

2

arctg

C

arctg

C.

2

1

7

7

7 2

7

7

t

2

4

sin

3

x

Пример 2. Найти

2

dx . Приведем этот интеграл к

cos x

виду

R cos x sin x dx

. Получим:

sin

3

x

sin

2

x sin x

dx

dx

2 cos x

2 cos x