Материал: Нейтринные процессы во внешнем магнитном поле в технике матрицы плотности (90

Приведенные лептонные и нуклонные шпуры могут быть вычислены с помощью полезных соотношений, сверток и шпуров, приведенных в

Аналогичные вычисления для лептонных шпуров приводят к следую-

щему результату:

{

Для астрофизических приложений интерес представляет расчет 4-им- пульса, уносимого нейтрино из единицы объема среды в единицу времени (5.12). При предположении eB/mp ε¯e, ω¯, где ε¯e, ω¯ – средние энергии электрона и нейтрино, которое хорошо выполняется в основных приложениях URCA-процессов к расчету нейтринного остывания оболочки сверхновой, в выражениях для энергии нуклонов можно пренебречь членами eB/mp, g˜peBs/2mp, gN eBs′/2mN . Это эквивалентно пренебрежению энергией взаимодействия аномального магнитного момента нуклонов с магнитным полем и формальной замене:

41

В результате замены под знаком суммы по n′ выражение для нуклонного шпура (8.4) существенно упрощается:

Свертка этого выражения с лептонным шпуром (8.1) приводит к следующему выражению для 4-импульса, уносимого нейтрино из единичного объема среды в единицу времени:

жения среды вдоль вектора напряженности магнитного поля. Данное выражение содержит интегралы по поперечным к направлению поля компонентам импульсов электрона и протона. Техника вычислений по-

42

добных интегралов изложена в Разделе (6.) Ниже мы приводим результат вычисления скалярного и векторного интегралов по поперечным компонентам, которые входят в выражение (8.15):

∫∫

∫∫

В системе покоя среды υ = (1, 0, 0, 0), и в предположении, что нуклоны являются нерелятивистскими En′ ≈ mp, E′ ≈ mN нейтринная светимость из единицы объема приводится к виду:

43

′ 2

E = m + P /2mN , ω – энергии электрона, протона, нейтрона, ней-

′

трино, q = (P +k) – импульс, передаваемый в реакции (1.1) поперек магнитного поля, gv 1, ga 1,26 – векторная и аксиальная константа заряженного нуклонного слабого тока в низкоэнергетическом приближении. Отметим, что полученное выражение нейтринной светимости совпадает с приведенным в обзоре [8] при умножении его на два и замене 1 − fν → 1. Различие объясняется тем, что в цитируемой работе среда нейтронной звезды предполагалась прозрачной для нейтрино и, в дополнение к процессу (1.1), учитывался β-распад нейтрона, что привело, в конечном счете, к удвоению нейтринной светимости.

9.Рассеяние нейтрино на протоне

Реакция (1.6) рассеяния нейтрино всех сортов на протоне (N = p) играет важную роль при взрыве сверхновой. За счет процессов рассеяния нейтрино на нуклонах внутренняя, наиболее плотная часть оболочки сверхновой становится частично непрозрачной для нейтрино сортов µ и τ. В магниторотационной модели взрыва сверхновой, как впервые показано в [1, 2], не менее важно вычислить компоненту импульса, передаваемого от нейтрино элементу объема среды в единицу времени в данных процессах. Локальный лагранжиан процесса рассеяния нейтрино на протоне имеет вид (5.1) с константами электрослабого протонного тока (5.3), S – матричный элемент процесса может быть записан в виде (5.5), а его квадрат в виде (5.9). Основным объектом вычисления является переданный от нейтрино среде 4-импульс (5.9).

Для матрицы плотности нерелятивистского протона используем выражение (4.31) с учетом отсутствия вырождения его энергии по уровням Ландау (4.32), матрица плотности нейтрино соответствует стандартному выражению (4.34).

В таком случае нейтринный шпур в выражении (5.9) определяется стандартным образом:

Протонный шпур с одинаковыми начальными и конечными поляриза-

44

циями (без переворота спина) может быть представлен в виде:

тогда как с различными начальными и конечными поляризациями (с переворотом спина) имеет вид:

При переходе в систему покоя среды υ = (1, 0, 0, 0), а свертка протонного и нейтринного шпуров дает:

После подстановки шпуров в (5.9) и интегрирования по поперечным компонентам импульсов протона (см. интегралы (7.9) – (7.11)) получим:

√

где введена Fn,n′ (ϑ) = n!/n′! ϑ(n′−n)/2e−ϑ/2Lnn′−n(ϑ) – функция Лагерра, ϑ = (k − k′)2 /2eB, δ(2) = δ(p3 − p′3 + k3 − k3′ ) δ(En − En′ + ω − ω′). Полученное выражение для 4-импульса справедливо в постоянном, од-

нородном магнитном поле при предположении о нерелятивизме протонов. Дополнительные упрощения связаны с условиями в оболочке

45