Материал: Нейтринные процессы во внешнем магнитном поле в технике матрицы плотности (90

δ-функций Дирака. Вычисление этих интегралов удобно проводить, воспользовавшись Фурье-образом δ-функции:

−∞

где s x = s1x1 + s2x2 – скалярное произведение векторов в 2-мерном евклидовом пространстве. В этом случае интегрирование по x и y становится независимым и сводится к интегралам следующего вида:

Векторный интеграл удобно вычислять, представив его в виде:

fα(n)(s) = A(n)sα,

а коэффициент разложения A(n) находить из свертки sαfα(n)(s). Получающиеся таким образом скалярные интегралы удобно вычислять в полярных координатах. Если полярный угол отсчитывать от вектора s, то (sx) = sx cosφ, d2x = xdxdφ. Воспользовавшись известными соотношениями:

где Jn(t) – функция Бесселя первого рода, для исследуемых интегралов получаем следующие выражения:

31

В терминах функций f(n)(s) и fα(n)(s) исходные интегралы представляются как

Поскольку интегралы Iα(n,m)(z), Iαβ(n,m)(z) имеют векторную и тензорную структуру, а тензорная структура является симметричной, то они могут быть представлены в следующем виде:

Iα(n,m)(z) = B(n,m)zα,

Iαβ(n,m)(z) = C(n,m)δαβ + D(n,m)zαzβ.

Коэффициенты B(n,m), C(n,m) и D(n,m) находятся свёрткой интегралов с zα, δαβ и zαzβ. Вычисление полученных таким образом скалярных интегралов также удобно проводить в цилиндрических координатах, где полярный угол отсчитывается от вектора z. При использовании соотношений (6.6) и

интегралы I(n,m)(z) и Iα(n,m)(z) легко вычисляются. Чтобы привести последнюю свертку zαzβIαβ(n,m)(z) к виду интеграла (6.6), необходимо воспользоваться соотношением 2 cos2φ = 1+ cos2φ. Дальнейшее интегрирование сводится к использованию соотношения (6.13) совместно со следующим свойством полиномов Лагерра:

32

Окончательный результат вычисления интегралов даёт:

где для обобщения на случай 4-векторов мы от δαβ перешли к Λαβ. Отметим, что интеграл Iαβ(n,m)(z) симметричен не только относительно перестановки α и β, но и относительно перестановки n и m.

7.Светимость в процессе нейтринного синхротронного излучения

Вданном разделе в формализме матрицы плотности вычисляется нейтринная светимость в процессе синхротронного излучения нейтринной пары электроном (позитроном). История изучения этого процесса насчитывает более сорока лет. Выражение для нейтринной светимости процесса и интерполяционные формулы для численного расчета можно найти в обзоре [8], где предполагалось, что плазма прозрачна

для родившихся нейтрино.

Вычислим Pµ(1) (1.10) для нейтрино определенного аромата в том же предположении. Результат вычислений необходимо просуммировать по всем ароматам нейтрино i = e, µ, τ, учитывая значения векторных и аксиальных констант (5.2) слабых токов. При переходе от канала рассеяния к нейтринному синхротронному излучению необходимо сменить знак у 4-импульса нейтрино (kµ → −kµ), после чего выражение (5.11) приводится к виду:

Напомним, что здесь p(′)µ = (ε(n′()′) , p(′)) – 4-векторы импульса начального (конечного) электрона, электронный шпур L(αβe) соответствует выражению (5.13) при ϱ = −1, нейтринный шпур L(αβν) – выражению (5.14),

33

и для электронов используются равновесные функции распределения:

где η = µ/T . Выражение (7.1) может быть ковариантно проинтегрировано по импульсам нейтрино. Введем тензорный интеграл Iαβ, который довольно легко вычисляется:

Для дальнейших вычислений удобно ввести интегральное представление единицы:

Рассмотрим нулевую компоненту QS этого 4-вектора (нейтринную светимость). При вычислении свертки L(αβe) с векторами qα и qβ в светимости не следует учитывать члены, линейные по c, поскольку они линейны либо по p3, либо по p′3, и зануляются при интегрировании по

этим переменным. В результате получим:

{

34

где u = 2p2 /eB, u′ = 2p′2/eB, n(′) — уровни Ландау начальной (конечной) частицы.

Свертка gα βL(αβe) имеет простой компактный вид:

Далее приведем результаты вычисления содержащихся в (7.5) интегралов по поперечным к полю компонентам импульсов электронов в терминах нормированных функций Лагерра [8]:

√

Скалярный, векторные и тензорный интегралы в терминах этих функций могут быть представлены в виде:

∫∫

35