Материал: Нейтринные процессы во внешнем магнитном поле в технике матрицы плотности (90

Отметим, что электрон-позитронная плазма, которая порождает гигантскую вспышку SGR в магнитарной модели, прозрачна для нейтрино. По этой причине основными процессами ее нейтринного излучения в сильном магнитном поле магнитара являются реакции (1.4) и (1.7).

Важно отметить, что наибольший интерес для астрофизики представляют не вероятности и сечения процессов, а интегральные характеристики, такие как скорость процесса (число переходов в единичном объеме за единицу времени):

а также 4-импульс, уносимый в реакции нейтрино из единичного объема среды в единицу времени:

Здесь суммирование ведется по полному фазовому объему всех начальных (i) и всех конечных (f) частиц, участвующих в реакции, fi, ff – их функции распределения, |Sif |2/τ – квадрат S-матричного элемента процесса в единицу времени, kα – 4-импульс, уносимый нейтрино в реакции, V – нормировочный объем. Скорость процесса (1.9) позволяет вычислить средние времена пробега нейтрино в среде в нейтринопоглощающих реакциях:

где nν – локальная концентрация нейтрино, ноль-компонента 4-век- тора (1.10) определяет нейтринную светимость, а компонента (1.10) вдоль направления магнитного поля – асимметрию в процессах переизлучения нейтрино. Отметим также, что в низкоэнергетическом пределе (q2 m2W , где q2 – квадрат переданного в реакции 4-импульса, mW – масса W - бозона), который хорошо выполняется практически во всех астрофизических приложениях, указанные выше нейтринные процессы являются одновершинными, поскольку описываются в этом пределе эффективной (V − A) теорией.

В данных указаниях подробно излагается явно ковариантная техника вычисления (1.9), (1.10) для одновершинных нейтринных процессов

6

при использовании матрицы плотности заряженной частицы в постоянном магнитном поле. Здесь ковариантность подразумевает равноправие инерциальных систем отсчета при преобразованиях Лоренца вдоль по направлению напряженности поля. Привлекательность такой техники заключается в том, что она полностью подобна известной технике вычисления Фейнмановских диаграмм в вакууме, что позволяет быстро ее освоить и самостоятельно вычислить (1.9), (1.10) в постоянном магнитном поле, по крайней мере, в одновершинных слабых процессах с заряженными частицами.

Матрица плотности заряженной релятивистской частицы в постоянном магнитном поле давно привлекала интерес исследователей. Заметим, что в импульсном пространстве она должна быть определена так, чтобы в бесполевом пределе при суммировании по поляризациям заряженной частицы с положительной энергией получить хорошо известное выражение

где pˆ = pµγµ, γµ – матрицы Дирака.

Выражение для такой ковариантной (в смысле преобразований Лоренца вдоль по полю) матрицы плотности заряженной частицы в постоянном магнитном поле отсутствует в литературе.

Впособии используется естественная система единиц, в которой c =

~= k = 1.

2.Алгебра γ-матриц Дирака во внешнем магнитном поле

Для любой частицы с импульсом pµ, находящейся в электромагнитном поле, можно ввести удобный для анализа квантовых процессов с ее участием базис. Заметим, что конфигурация чисто магнитного поля, наиболее важная в приложении к астрофизическим объектам, обладает набором специфических свойств, использование которых существенно упрощает расчеты конкретных реакций.

Из электродинамики известно, что электромагнитное поле может быть задано тензором напряженностей Fµν. В дополнение к нему так-

рем систему координат таким образом, чтобы ось Oz была направлена вдоль вектора напряженности постоянного однородного магнитного

7

В дальнейшем удобно пользоваться не самим тензором электромагнитного поля и дуальным к нему тензором, а их безразмерными аналогами:

явный вид которых в выбранной нами системе отсчета представлен числовыми матрицами в формуле (2.1). Также удобно использовать коварианты, составленные из этих тензоров и 4-вектора импульса заряженной частицы, в параллельном (0, 3) и перпендикулярном (1, 2) подпространствах.

Представляет интерес проанализировать алгебру введенных безразмерных тензоров (2.2). Начнем с бинарных произведений:

˜

В отличие от антисимметричных тензоров φµν и φ˜µν, тензоры Λµν и Λµν симметричны в соответствии с общими свойствами сверток тензоров. В выбранной нами системе координат эти тензоры имеют следующий явный вид:

Из явного представления тензоров видно, что они не являются линейно независимыми, а связаны друг с другом посредством метрического тензора gµν:

Проведенный анализ показывает, что наличие внешнего постоянного однородного магнитного поля естественным образом разбивает четырехмерное пространство Минковского на два непересекающихся

8

подпространства: двумерное евклидово подпространство с метрическим тензором Λµν, ортогональное вектору напряженности магнитно-

го поля B, и двумерное псевдоевклидово подпространство с метри-

˜

ческим тензором Λµν. Безразмерные тензоры электромагнитного поля φµν и φ˜µν играют роль тензоров Леви-Чивита (полностью антисимметричных тензоров) этих подпространств и обладают следующими свойствами:

Для введенного набора тензоров справедливы следующие бинарные соотношения:

При проведении вычислений оказывается удобным ввести специальные обозначения для каждого из подпространств: —для евклидова подпространства с метрикой Λµν и — для псевдоевклидова под-

˜

пространства с метрикой Λµν. При таком соглашении произвольный 4-вектор Aµ = (A0, A1, A2, A3) можно разбить на две ортогональные составляющие:

где Aµ = (A0, 0, 0, A3) и Aµ = (0, A1, A2, 0) в соответствии со свойством (2.5). Такое разбиение позволяет ввести скалярное произведение

векторов в каждом подпространстве по отдельности:

где Aµ и Bµ — произвольные 4-векторы.

Деление четырехмерного пространства на два непересекающихся подпространства приводит к модификации свойств γ-матриц. Будем

µ ˜µν

обозначать γ-матрицы продольного подпространства как γ = Λ γν, а поперечного подпространства как γµ = Λµνγν.

9

Введем проекционные операторы фермиона Πσ:

[]

где учтен явный вид тензора φµν (2.2) в выбранной системе отсчета. Соответственно, σ = +1 отвечает фермионному состоянию со спином, направленным по магнитному полю, а σ = −1 — состоянию со спином против магнитного поля. Отметим следующие мультипликативные и аддитивные свойства проекционных операторов:

а также их коммутационные свойства по отношению к γ-матрицам:

Последнее свойство интересно тем, что если встречается конструкция следующего вида ΠσγµΠσ, то эффективно от γ-матрицы остается только ее продольная составляющая γµ, а в случае конструкции Π−σγµΠσ —

еепоперечная часть γµ .

Отметим также коммутативность проекционных операторов Πσ с

матрицей γ5:

Широко используемой операцией является взятие шпура произведения некоторого числа γ-матриц. В случае сильного магнитного поля вычисление шпуров эффективно реализуется только в -подпро- странстве. Как и в обычном четырехмерном пространстве, в -под- пространстве шпур нечетного числа γ-матриц равен нулю, а несколько первых шпуров четного числа — следующие:

Оказываются полезными и другие часто встречающиеся соотношения

10