Материал: obrazets_vypolnenia_laboratornykh_rabot_2_semestr

аппроксимация полином 1 степени

1

0,9

O3

0,8

0,7

O4

0,6

O2

y

у 0,5

O1

P1(x)

0,4

0,3

0,2

O0

0,1

0

0

0,5

1

1,5

х

Реализация метода в Mcad

Метод наименьших квадратов (полином 1- ой степени P1(x)=a0 + a1 x)

0.2

0.1

0.4

0.5

Исходные данные

x

0.7

y 0.6

0.85

0.9

1

0.7

i 0 4

Количество точек

5

x

y

i

i

C

i

D

i

Вычисление коэффициентов

xi yi

xi xi 2

матрицы

i

i

i

a C 1 D

Вычисление коэффициентов полинома

0.058

a

Коэффициенты полинома

0.797

P1(x) a0 a1 x

Искомый полином

Oi P1 xi yi

Вычисление ошибок аппроксимации

0.117

1

График исходных

0.123

y i

точек и

O 0.016

полученного

0.165

P1 xi

0.5

полинома

0.155

0 0

0.5

1

xi xi

xi4

0,24

0,44 0,74 0,854

14 1,789

i

yi

y0

y1 y2

y3

y4

yi 0,1 0,5 0,6 0,9 0,7 2,8

i

i

xi yi x0 y0 x1y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4

i

xi yi

0,2 0,1 0,4 0,5 0,7 0,6 0,85 0,9 1 0,7 2,105

i

xi

2 yi

0,22 0,1 0,42 0,5 0,72 0,6 0,852 0,9 12

0,7 1,728

i

Получаем систему:

5 a0

3,15 a1 2,413 a2

2,8

a0

2,413 a1

2,029 a2

2,105

3,15

2,413 a

0

2,029 a

1,789 a

2

1,728

1

Запишем систему в матричном виде.

5

3,15

2,413

a0

2,8

3,15

2,413

2,029

a1

2,105

a

1,728

2,413

2,029

1,789

2

Решим систему методом Гаусса.

5

3,15

2,413

2,8

3,15

2,413

2,029

2,105

Выполним деление 1-е уравнение на 5,а 2-е уравнение на 3,15, 3-е

2,413

2,029

1,789

1,728

1

0,63

0,483

0,56

0,766

0,644

0,668

уравнение на 2,413. В результате получаем систему.

1

1

0,841

0,742

0,716

Перепишем 1- е уравнение без изменений, а из 2-е уравнения вычтем 1-е уравнение и результат

запишем на место второго уравнения, из 3-го уравнения вычтем 1-е уравнение и результат

1

0,63

0,483

0,56

0

0,136

0,162

0,108

запишем на место третьего уравнения. Получим систему

. Выполним

0

0,211

0,259

0,156

деление 2-е уравнение на 0,136, 3-е уравнение на 0,211. В результате получим систему

1

0,63

0,483

0,56

0

1

1,190

0,797

. Перепишем 1-е и 2- е уравнение без изменений, из 3-го уравнения вычтем

0

1

1,228

0,741

1

0,63

0,483

0,56

0

1

1,190

0,797

2-е уравнение и результат запишем на место третьего уравнения.

0

0

0,038

0,056

a0 0,63a1 0,483 a2

0,56

Запишем полученные данные в виде системы линейных уравнений:

a 1,190 a

2

0,797

.

1

0,038 a2

0,056

Из 3-го уравнения найдѐм a

2

0,056 . Получим

a

2

1,472

. Из 2-го уравнения найдѐм

0,038

43