Материал: Общая физика в задачах. Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Электричество и магнетизм. Калач А.В., Тарханов А.К

Задачи для самостоятельного решения

1. Даны два вектора и . Найдите сумму этих векторов, если они направлены в одну сторону вдоль одной прямой. Модули векторов равны: = 5, = 4.

2. Два вектора и расположены в одном направлении на одной прямой. Определите: 1) сумму этих векторов; 2) разность между 1-м и 2-м векторами; 3) разность между 2-м и 1-м векторами.

3. Вдоль прямой АВ навстречу друг другу направлены два равных по модулю вектора . Определите сумму и разность этих векторов.

4. Угол между двумя векторами и равен 60⁰. Определите модуль вектора и угол bb между и . Модули векторов равны = 3, = 2.

5. Вектор , модуль которого равен 4, составляет угол aa = 240⁰ с вектором , модуль которого равен 6. Определите модуль вектора и угол bb между и .

6. Для векторов, заданных в задаче 6, определите модуль вектора и угол bb между и .

7. Даны три взаимно перпендикулярных вектора , , , модули которых равны соответственно 3, 6, . Найдите модуль вектора .

8. В координатах x, y задано положение точки М: x = 5, y = 5. Определите модуль вектора , соединяющего начало координат и точку М, а также угол aa между этим вектором и осью х.

9. Вектор , модуль которого равен 6, направлен под углом aa = 30⁰ к оси х. Определите проекции этого вектора на координатные оси х, y.

10. Если конец вектора , модуль которого равен 4, соединить с началом вектора , то модуль вектора , соединяющего начало вектора с концом вектора , будет равен 4 . Угол aa между и будет равен 30⁰. Определите угол bb между векторами и , а также модуль вектора .

11. Вектор , равный по модулю 3, составляет угол aa = 30⁰ с прямой АВ. Под каким углом bb к АВ надо направить вектор , равный по модулю , чтобы вектор был параллелен АВ? Чему равен модуль вектора ?

12. Даны точки М₁ (1;10), М₂ (5;6). Определите модуль вектора, соединяющего точку М₁ с М₂.

13. В координатах x, y заданы два вектора. Определите модуль суммарного вектора и угол aa его наклона к оси х.

14. Векторы и заданы в координатах x, y. Определите модули векторов и .

15. Даны два вектора и , модули которых равны = 2, =1. Угол между ними aa = 60⁰. Найдите векторы и .

16. Разложите векторы на составляющие по заданным направлениям (рис. 12).

17. У

    Рис. 12

    вектора известна одна из составляющих (рис. 13). Найдите вторую составляющую .

18. Вектор является суммой трех векторов , , . Заданы векторы и и направления МN и M₁N₁, вдоль которых распложены векторы и (рис.14). Определите векторы и .

Рис. 13 Рис. 14

19. Два параллельных вектора и направлены в одну сторону. Расстояние между векторами равно 6 см. Найдите расстояние до суммарного вектора, если известно, что = .

20. Два антипараллельных вектора, модули которых равны 8 и 2, находятся на расстоянии 12 см друг от друга. Определите сумму этих векторов и линию действия полученного вектора.

Глава 2. Физические основы механики теоретические сведения Кинематика поступательного и вращательного движения

При равномерном движении по прямой в одном направлении путь равен

S = υt.

Скорость равна

Средняя скорость равна

.

Cреднее ускорение:

Мгновенное ускорение:

где a_x = dυ_x / dt, a_y = dυ_y / dt, a_z = dυ_z / dt – проекции ускорения на оси координат.

Величина ускорения равна

.

При равнопеременном движении по прямой в одну сторону путь равен

Скорость равна

Мгновенная скорость:

где υ_x = dx / dt, υ_y = dy / dt, υ_z = dz / dt – проекции скорости на оси координат.

Начальная скорость υ₁, конечная υ₂, ускорение а и путь, пройденный телом, связаны уравнением

Движение материальной точки (тела) на плоскости определяется системой параметрических уравнений

Решение этой системы дает уравнение траектории

При решении задач о движении точки на плоскости желательно использовать принцип независимости движения по каждой оси.

Примеры: 1) движение тела, брошенного горизонтально:

2) движение тела, брошенного под углом со скоростью :

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих:

.

Величина этих ускорений:

,

где R – радиус кривизны в данной точке траектории.

Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением) .

Средняя угловая скорость:

,

где – изменения угла поворота за интервал времени .

Мгновенная угловая скорость:

.

Среднее угловое ускорение:

,

и мгновенное угловое ускорение:

.

Кинематическое уравнение равномерного вращения:

,

где – начальное угловое перемещение, t – время, – угол поворота.

Время полного оборота вокруг оси (период вращения):

,

частота вращения:

где N – число оборотов, совершаемых за время t; Т – период вращения.

Уравнение равноускоренного вращения:

,

где и – начальные угловая скорость и угловое перемещение.

Угловая скорость при равноускоренном вращении:

Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами:

путь, пройденный телом:

,

линейная скорость:

υ = ωR,

тангенциальное ускорение:

нормальное ускорение:

Динамика материальной точки и поступательного движения абсолютно твёрдого тела

Импульс (количество движения) материальной точки (тела):

где m – масса материальной точки; – скорость материальной точки.

Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):

,

где – геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; – ускорение; N – число сил, действующих на точку.

Уравнение движения материальной точки в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки:

где R – радиус кривизны траектории в данной точке; – угловая скорость.

Изменение импульса материальной точки (системы тел):

,

,

где dt ( ) – время действия силы; ( ) – импульс силы.

Закон сохранения импульса для замкнутой системы:

где N – число материальных точек (или тел), входящих в систему.

Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского):

,

где реактивная сила:

= ,

где u – скорость истечения газов из ракеты (тела).

Формула Циолковского для определения скорости ракеты:

где m₀ – начальная масса ракеты; m – текущая масса ракеты; u – скорость частиц газа относительно ракеты.

Координаты центра масс системы материальных точек: