Материал: Общая физика в задачах. Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Электричество и магнетизм. Калач А.В., Тарханов А.К

где – масса i-й материальной точки; – её координаты.

Радиус-вектор, определяющий положение центра масс системы частиц в пространстве относительно произвольной точки О:

Закон всемирного тяготения:

,

где F – сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек; и – их массы; r – расстояние между точками; G – гравитационная постоянная.

Ускорение свободного падения, создаваемого планетой, массу M которой можно считать распределенной сферически симметрично:

,

,

где g₀ и g₁ – ускорения свободного падения на поверхности планеты радиусом R и на высоте h над поверхностью планеты.

Сила тяжести:

.

Закон Гука для нормального растяжения или сжатия:

,

где x – абсолютное удлинение; k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость).

Напряжение при упругой деформации:

,

где S – площадь поперечного сечения; – растягивающая (сжимающая) сила.

Относительное продольное растяжение (сжатие):

где ∆l x – изменение длины тела при растяжении (сжатии); l – длина тела до деформации.

Относительное поперечное растяжение (сжатие):

где ∆d – изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии); d – диаметр стержня.

Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) и относительным продольным растяжением (сжатием):

,

где μ – коэффициент Пуассона.

Напряжение при продольном растяжении (сжатии):

,

где E – модуль Юнга.

Закон Гука для сдвига:

,

где G – модуль поперечной упругости (модуль сдвига).

Сила трения скольжения:

,

где  – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

Сила трения качения:

,

Работа и энергия

Работа, совершаемая постоянной силой:

,

где – проекция силы на направление перемещения; α – угол между направлением силы и перемещения.

Работа, совершаемая переменной силой на пути S:

.

Средняя мощность за промежуток времени t:

Мгновенная мощность:

Кинетическая энергия движущегося тела:

Изменение кинетической энергии движущегося тела:

Связь между силой, действующей на тело в данной точке поля, и потенциальной энергией частицы:

где – единичные векторы координатных осей; E_П – потенциальная энергия частицы.

В случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное):

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту h:

E_П = mgh.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами и , находящихся на расстоянии r друг от друга:

Работа сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле:

Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины):

где k – коэффициент жесткости; x – абсолютная деформация.

Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы):

где E – полная механическая энергия системы.

Коэффициент восстановления:

где υ_n′ и υ_n – соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара.

где _к – коэффициент трения качения; r – радиус катящегося тела.

Для неинерциальных систем уравнение движения имеет вид

,

где ; – сила инерции.

Скорости двух тел массами и после абсолютно упругого удара:

Вращательное движение абсолютно твёрдого тела

Момент инерции материальной точки относительно какой-либо оси вращения:

,

где m – масса материальной точки; r – расстояние до оси вращения.

Момент инерции системы (тела) материальных точек:

в случае непрерывного распределения масс:

,

где r_i – расстояние от материальной точки массой m_i до оси вращения, приращение массы , тогда

_,

где – плотность тела объемом V.

Теорема Штейнера:

_,

где J₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; J – момент инерции тела относительно оси, параллельной первой и отстоящей от нее на расстояние a; m – масса тела.

Таблица 1

Момент инерции тел правильной геометрической формы

(тела считаются однородными)

Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения:

_,

_,

где – радиус-вектор; – импульс тела; J – момент инерции тела относительно заданной оси; – угловая скорость; r_i – расстояние от оси до отдельной частицы тела; – импульс этой частицы.

Закон сохранения момента импульса для систем тел:

_,

для двух взаимодействующих тел:

_,

где – момент инерции и угловые скорости тел до взаимодействия; – те же величины после взаимодействия.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

где – угловое ускорение; – момент силы относительно неподвижной точки (оси).

где – радиус-вектор, проведенный из этой точки (оси) в точку приложения силы .

Модуль момента силы:

M = Fd,

где d – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

Работа постоянного момента силы M, действующего на вращающееся тело:

A = Mφ,

где – угол поворота тела.

Мощность, развиваемая при вращении тела:

P = Mω.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

где J – момент инерции тела относительно оси вращения; ω – его угловая скорость.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения: