Материал: Общая физика в задачах. Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Электричество и магнетизм. Калач А.В., Тарханов А.К

Релятивистская механика

Преобразования Лоренца:

где предполагается, что система отсчета K′ движется со скоростью v в положительном направлении оси х системы отсчета K, причем оси x′ и x совпадают, а оси y′ и y, z′ и z параллельны; с – скорость распространения света в вакууме.

Релятивистское замедление хода часов:

где – промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами; – промежуток времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами.

Релятивистское (лоренцово) сокращение длины стержня:

где l₀ – длина стержня в системе координат K′, относительно которой стержень покоится (собственная длина, стержень параллелен оси x′); l – длина стержня, измеренная в системе K, относительно которой он движется со скоростью υ; с – скорость распространения электромагнитного излучения.

Релятивистское сложение скоростей:

где υ′ – относительная скорость тела в системе K′; υ₀ – скорость тела относительно системы K.

Сложение скоростей в пространстве:

где система отсчета K движется со скоростью υ в положительном направлении оси х системы отсчета K, причем оси и х совпадают, оси и y, оси и z параллельны.

Интервал S₁₂ между событиями (инвариантная величина):

где t₁₂ – промежуток времени между событиями 1 и 2; l₁₂ – расстояние между точками, где произошли события.

Релятивистская масса:

где m₀ – масса покоя.

Релятивистский импульс:

Основной закон релятивистской динамики:

где – релятивистский импульс частицы.

Полная энергия релятивистской частицы:

где E_K – кинетическая энергия частицы,

– её энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если υ << c.

Кинетическая энергия релятивистской частицы:

Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы:

,

Энергия связи системы:

где m_0i – масса покоя i – й частицы в свободном состоянии; М₀ – масса покоя системы, состоящей из N частиц.

Примеры решения задач Кинематика поступательного и вращательного движения

Пример 1. Уравнение движения материальной точки имеет вид х = А + Bt + Ct , где А = 2 м, В = 1 м/с, С = – 0,5 м/с . Найдите координату х, скорость υ_x и ускорение a_xточки в момент времени t = 2 с.

Решение. Координату х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:

х = (2 + 1·2 – 0,5·2³) = 0. (1)

Мгновенная скорость относительно оси х есть первая производная от координаты по времени:

. (2)

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

. (3)

В момент времени t = 2 с.

Ответ: υ_x = – 5 м/с; a_x = – 6 м/с².

Пример 2. Автобус движется со скоростью υ = 18 км/ч. С некоторого момента он начинает двигаться с ускорением a в течение t = 10 с, а последние 110 м проходит за одну секунду. Определите ускорение и конечную скорость автобуса υ₁.

Р ешение. Весь путь, проделанный автобусом, делится на два S₁ и S₂ (рис. 15).

Рис. 15

Запишем для двух этих участков уравнения движения:

; (1)

(2)

и законы изменения скорости:

, (3)

. (4)

Подставим (3) в (2):

. (5)

Выразим a:

. (6)

Подставим в (6) числовые данные:

.

Теперь подставим (3) в (4):

(7)

Произведем вычисления:

υ₁ = 5 м/с + 10 м/с² (10 с + 1 с) = 115 м/с.

Ответ: ускорение автобуса a = 10 м/с², конечная скорость автобуса υ₁ = 115 м/с.

Пример 3. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = A+Bt+Ct², где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = – 2 рад/с . Найдите полное ускорение a точки, находящейся на расстоянии r = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

Решение. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории:

+ . (1)

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения равен

. (2)

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами

, , (3)

где ω – модуль угловой скорости тела; ε – модуль его углового ускорения.

Подставляя выражения a_τ и a_n в формулу (2), находим

. (4)

Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную от угла поворота по времени:

. (5)

В момент времени t = 4 с модуль угловой скорости:

_{. (6)}

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

. (7)

Подставляя значения ω, ε и r в формулу (4), получим

.

Ответ: a = 1,65 м/c².