Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Рассмотрим пример иллюстрирующий характер общего решения уравнения в частных производных

z x z x2y2.

x

Это уравнение 1-го порядка в частных производных, не содержащее

производную z . Считая переменную y фиксированной, рассматриваем его

y

как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка и линейное

z 1 z xy2.

x x

Решение ищем в виде

z(x,y) uv,

где y - фиксировано. Используя метод Бернулли, получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Частное решение второго уравнения системы имеет вид v x. Подставив это решение в первое уравнение, получим

du y2, u y2x C(y), dx

где C(y) - произвольная функция переменной y. Таким образом, имеем

z(x,y) xC(y) x2y2.

Общее решение зависит от произвольной функции C(y), т.е. содержит еще большую степень произвола, чем в случае обыкновенного дифференциального уравнения.

7.2. Понятие характеристики уравнения в частных производных. Общее решение уравнений

Интегрирование квазилинейных и линейных уравнений в частных производных первого порядка сводится к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим сначала простейший случай однородных линейных уравнений вида

нуль одновременно и непрерывно дифференцируемы на некотором открытом

165

множестве D пространства переменных x, y.

Пусть кривая, заданная параметрическими уравнениями x x( ), y y( )

Вместо системы уравнений (7.6) обычно записывается одно уравнение в симметричной относительно x и y форме

Система уравнений (7.6) называется характеристической системой уравнения (7.5), интегральные кривые уравнения (7.7) (т.е. фазовые траектории системы (7.6) на плоскости x, y) называются характеристиками уравнения в частных производных (7.5).

Покажем, что из решения уравнения (7.7) можно получить решение

где Ф - произвольная дифференцируемая функция, является решением уравнения (7.5). Действительно,

соответствующего ему дифференциального уравнения (7.5). Тогда функция

166

z Ф(x,y) является общим решением уравнения (7.1), т.е. содержит любое

т.е. равенства (7.8) выполняются тождественно в любой точке области D . Будем рассматривать уравнения (7.11) как систему однородных

Но этот определитель является определителем Якоби функций и . Поскольку якобиан функций равен нулю, то эти функции зависимы, т.е.

(x,y) f (x,y) .

Это означает, что (7.10) является общим решением данного уравнения. Пример. Найти общее решение уравнения

представляет собой семейство поверхностей вращения с осью OZ .

2. Рассмотрим линейное однородное уравнение для функции трех переменных u u(x,y,z)

167

соответствующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме, определяющую характеристики уравнения (7.12):

dx dy dz . (7.13) P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y,z)

Решение этой системы двух уравнений представляется двумя независимыми интегралами

1(x,y,z) C1, 2(x,y,z) C2. (7.14)

Общее решение заданного дифференциального уравнения в частных производных

представляет собой совокупность всех однородных дифференцируемых функций трех переменных нулевой степени однородности.

3. Рассмотрим построение решения неоднородного квазилинейного уравнения

V(x,y,z) 0 - какое либо алгебраическое уравнение, решением которого является функция z z(x,y). Относительно функции V(x,y,z) предполагается,

что V 0. Используя правило дифференцирования неявно заданной функции,

z

получим

Подставляя эти выражения в уравнение (7.16) и умножив обе части на

V , имеем

z

Выше было показано, что функция V(x,y,z) - решение линейного однородного уравнения (7.17), определяется выражением

Общее решение уравнения в частных производных

Ф(x az, y bz) 0

представляет уравнение цилиндрических поверхностей с направлением образующих заданным вектором a,b,1 .

Образующие этих цилиндрических поверхностей – прямые, уравнения которых

x az C1, y bz C2 169