Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

подставим (6.6) в уравнение (6.2) учитывая равенство

(u0 u1( ) O( 2))3 u03 3u02( u1 O( 2))

3u0( u1 O( 2))2 ( u1( ) O( 2))3 u03 3 u02u1 O( 2).

Получим

(u1 20u1 u03) O( 2) 0.

Разделим на , а затем положим 0. Учтя, что 1O( 2) O( ) и что O( 0) 0, получим уравнения для функции u1

Отметим, что и уравнение (6.7) и уравнение (6.10) можно получить из (6.7), если приравнять нулю коэффициенты при последовательных степенях .

Подставим в уравнение (6.10) u0( ) в виде (6.9) и принимая во внимание элементарное равенство

где a1 и 1 – произвольные постоянные.

В силу линейности уравнения (6.11) частное решение этого неоднородного уравнения можно записать в виде суммы двух частных решений, соответствующих каждому из слагаемых в правой части

Оба этих уравнения имеют правую часть специального вида. Поэтому частные решения моделируются, а затем применяется метод неопределенных коэффициентов как это показано в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнения (6.13) корни характеристического уравнения равны i 0, поэтому частное решение записывается в виде

u1(1) (Acos( 0 0) Bsin( 0 0)).

Подставляя в уравнение (6.13) и применяя метод неопределенных коэффициентов для отыскания А и В, получим

Складывая общее решение однородного уравнения (6.12) и частные решения (6.15) и (6.16) получим общее решение уравнения (6.11) в виде

где a0,a1, 0, 1– произвольные постоянные. Хотя мы получили четыре постоянных, но оказывается, что они связаны между собой и для их нахождения вполне достаточно двух начальных условий. Действительно, подставляя разложение (6.18) в условия (6.4), получаем

Приравнивая члены при одинаковых степенях в левой и правой частях

161

этих равенств, получим

3

a1cos 1 1 9 a20 1cos3 0, 4 0

Введя оба равенства (6.19) в квадрат и складывая, имеем

u02 u12 a02, a0 (u02 u12)12.

Из этих же равенств можно найти и параметр 0:

Возведя в квадрат равенства (6.20) и сложив их, получим

Таким образом, все постоянные выражены через две заданные u0 и u1. Преобразуем выражение для решения уравнения Дюффинга, сложив два первых члена в (6.18). Используя известную тригонометрическую формулу, имеем

a0 cos( 0 0) a1cos( 0 1) acos( 0 ),

где

a (a02 2 a0a1cos( 0 1) 2a12)12, a a0 o( ),

Подставляя полученные выражения для амплитуды а и фазы , и отбрасывая члены высшего порядка малости по , получим решение уравнения Дюффинга в виде

u( , ) acos( 0 ) a3( A sin( 0 ) B cos(3 0 3 )) ..., (6.21)

162

Итак, из (6.21) следует, что в первом приближении искомое решение записывается в виде u acos( 0 ). А первая поправка к этому решению есть

a3A sin( 0 ) a3B cos(3 0 ).

Поправочный член будет мал, как это заранее предполагается, только тогда, когда мало по сравнению с единицей. Если же величина имеет порядок О(1), то поправочный член, содержащий этот множитель, может оказаться даже больше главного члена разложения. Поэтому прямое разложение применимо только для таких времен, при которых выполняется

O(1), т.е. для O( 1).

Таким образом, можно утверждать, что подобные разложения являются неравномерными по t, т.к. при больших временах они становятся непригодными. Члены вида t sin( t ) называют вековыми или секулярными членами – термин, возникший в астрономии при описании движения планет.

7.УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

7.1.Понятие уравнения в частных производных и его решения. Типы уравнений первого порядка

Соотношение, связывающее независимые переменные x1,x2,...,xn, изменяющиеся в некоторой области D n-мерного пространства, функцию u(x1,x2,...,xn) и ее частные производные по переменным x1,x2,...,xn до порядка m включительно, называется уравнением с частными производными m - го порядка.

Уравнение в частных производных первого порядка имеет следующий

u u(x1,x2,...,xn),

определенная и непрерывная вместе с частными производными в некоторой

163

области изменения x1,x2,...,xn и обращающая уравнение (7.1) в этой области в тождество. При этом предполагается, что значения x1,x2,...,xn, при которых определена функция u(x1,x2,...,xn), и значения, принимаемые этой функцией и

еечастными производными, лежат в области определения функции Ф.

Вобщем случае уравнение (7.1) является нелинейным уравнением с частными производными первого порядка. Если функция Ф линейна относительно всех частных производных, то уравнение называется

квазилинейным

В том случае, когда в уравнениях (7.2)-(7.4) правые части равны нулю, то уравнения называются однородными.

Уравнение (7.2), а также (7.3) и (7.4) можно записать в виде скалярного произведения вектора A a1,...,an и градиента функции u

i1,i2,...,in - единичные ортогональные векторы.

Используя введенные обозначения, уравнение (7.2) можно записать в

виде

A u b(x1,...,xn,u).

Построение решения уравнений в частных производных первого порядка может быть проведено методами, развитыми в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, представленными в предыдущих главах пособия. В дальнейшем ограничимся рассмотрением уравнений, содержащих два или три независимых переменных.

164