Дипломная (вкр): Оптимизационные методы оценки кредитоспособности предприятий

b.            Полином пятой (5-й) степени

В шестимерном пространстве , полином (2.3) имеет следующий вид:

, (2.6)

Рис. 2.1.a) График функций ,  и полинома .

Из минимизационной задачи в шестимерном пространстве R⁶ находятся коэффициенты полинома (2.6)

,

где , , при дополнительных естественных ограничениях

, ,

, ,

,.

Минимизационная задача решалась с помощью математического пакета MathCAD , рис.2.1. b).

Рисунок 2.1.б) График функций ,  и полинома

c.             Полином шестой (6-й) степени

Полином, представлен в (2.3) в семимерном пространстве  будет иметь следующий вид:

, (2.7)

Решение задачи (2.7) для нахождения коэффициентов полинома производится с помощью её минимизации в .

Минимизируемая функция:

,

при дополнительных естественных ограничениях

, ,

, ,

,.

Решение:

 рис.2.1c).

Рисунок 2.1.в) График функций ,  и полинома .

d.           
Полином седьмой (7-й) степени

Полином (2.3) в восьмимерном пространстве  имеет следующий вид:

,(2.8)

Решая задачу (2.1.8) с применением минимизационной задачи с помощью математического макета MathCAD, находятся коэффициенты

в .

где , при дополнительных естественных ограничениях

, ,

, ,

, .

Получили решение

, рис.2.1d).

e.             Полином девятой (9-й) степени

В десятимерном пространстве , полином (2.3) имеет следующий вид:

, (2.9)

Рисунок 2.1.г) График функций ,  и полинома .

Коэффициенты полинома (2.9) находились из минимизационной задачи в девятимерном пространстве  коэффициентов полинома

,

где , , при дополнительных ограничениях. При больших степенях полиномов, можно задать большее количество конкретных условий, для более точной аппроксимации. Например, зададим условия прохождения аппроксимационного полинома через центры прямоугольников.

, ;

, z1=1;

, z2=2.4;

, z3=2.9;

, z4=3.5;

, z4=3.5.

Получено решение на рис.2.1 е)

Рисунок 2.1.д) График функций ,  и полинома .

Из рис.2.1 видно, что полиномы при n=6 и n=7 пересекают все четыре области. В случае малых или больших n имеются некоторые особенности: n=3 в виде недостаточной гладкости, кривая не отслеживает особенностей функций Альтмана; n=5 имеется максимум и при некоторых различных z имеются одинаковые значения p; n=9 получается результаты не лучше, чем при n=6.

Показано, что наиболее благоприятным значением степени полинома является n = 6 или 7. Более низкие степени имеют малые значения второй производной и поэтому недостаточно гладко располагаются на координатной системе с функциями f₁(x) и f₂(x). Более высокие - дают меньшие значения целевой функции, но происходит это за счёт того, что концевые области отрезка  плохо аппроксимируются. Вопрос о точном выборе степени полинома остаётся проблемой противоречивой, хотя можно уже сказать, что эта проблема не носит принципиального характера, так как вне зависимости от степени полинома (если она достаточно высока) результаты будут близкими. Но требование фундаментальной, теоретически точной оценки в условиях противоречивых требований, нуждается ещё в дополнительных исследований.

Рис.2.2. График зависимости значения функционала от степени полинома с указанными в тексте ограничениями.

Из рис. 2.2. видно, что значения оптимизационного функционала образуют, в пределах численной погрешности, сходящуюся убывающую последовательность от степени полинома, поэтому, как только скорость сходимости становится малой, то дальнейшее повышение степени полинома становится бессмысленным т.е. с n=4 значения функционала практически не меняется. С другой стороны, из рис. 2.1 видно, что сам полином будет монотонной функцией и его значения не выходят из пределов [0, 1] только начиная с n=6. Поэтому в модели выбрано значение n=6.

В модели (2.1) параметры k_i и вычисляемый по ним параметр z не могут быть измерены точно. Следовательно, модель (2.1) порождает нечёткие множества, которым принадлежат значения величины p, а значения функций принадлежности этих множеств совпадают с вероятностями банкротства предприятия. Модель Альтмана, позволяет в первом приближении разделить предприятия на четыре класса с вероятностью банкротства , .  - «вероятность банкротства велика»,  - «вероятность банкротства средняя»,  - «вероятность банкротства не велика»,  - предприятия «вероятность банкротства маленькая». В рассматриваемом примере .

Для нечётких множеств  задаётся функция принадлежности , (рассмотренная ниже в пункте 2.1.2).

Если величина вероятности p, найденная по модели Альтмана (2.1) с применение L₆(z) попадает в одно из множеств , то значение функции принадлежности будет равняться . Эта ситуация показана на рисунке 2.3. В этом случае, вероятности банкротства приписывается полученное значение . Если , то .

Рисунок 2.3. Значения функции принадлежности при .

Множества  заданы своими  функциями распределения четко.

Построением функции L₆(z) достигается возможность получить значение р в областях, которые лежат вне множеств Альтмана, однако в таких случаях возникает необходимость отнести получаемое значение к одному из близлежащих множеств Альтмана, для чего и предлагается воспользоваться теорией нечётких множеств, строя наиболее простые кусочно-линейные непрерывные функция принадлежности [44]. Когда величина вероятности p, найденная по модели Альтмана (2.1) с применением L₆(z) не попадает ни в одно из множеств , то значение функции принадлежности будет находиться с помощью представленной ниже (в пункте 2.1.3) методики с помощью аппарата нечётких множеств. В настоящее время нечеткие множества активно используются на практике при анализе рисков банкротства предприятий [44].

2.1.2 Функция принадлежности

Функция принадлежности  - это функция, областью определения которой является носитель , (), а областью значений - единичный интервал [34]. Чем больше значение , тем выше оценивается степень принадлежности элемента носителя  нечеткому множеству . В нашем случае в качестве носителя выберем , на котором заданы множества A_i где  - вероятность банкротства предприятия, соответствующая значению , найденного с помощью уравнения (2.1). На этом носителе определим функции принадлежности: для значения  - ,  - ,  - ,  - , причём первая из них отвечает нечёткому подмножеству , вторая - _, третья - , а четвертая - , где - «возможность банкротства высокая», - «возможность банкротства средняя»,  - «возможность банкротства небольшая», - «возможность банкротства маленькая».

Вычисления значения z по модели Альтмана (2.1) и вычисления p по формуле L₆(z) не всегда даёт возможность отнести вычисленное значение p в одно из множеств A_i, то есть к одному из случаев , , , . Например, если , то p можно отнести и к множеству A₁ , и к множеству A₂.

В этой связи, вводим нечёткие множества  которые задаются функциями предпочтения , позволяющая определить меру нечеткости множества , в данном случае, меру нечёткости вычисленной вероятности .

Функции принадлежности подмножеств , , ,  имеют вид:

(2.10)

Тогда, сами множества запишем с помощью традиционных для теории множеств обозначений (используется знак интеграла) [44]:

Рисунок 2.4. Графики функций принадлежности нечётких подмножеств а) -, б) -, в) - , г).-, отвечающих множествам Альтмана (рисунок 2.3).

Если все графики a) - г) изобразить на в одной системе координат, то абсциссы точек пересечения функции  и , будут равны , ,  и они отвечают определению (2.11) ближайших чётких множеств (см. п.2.1.5).