Дипломная (вкр): Оптимизационные методы оценки кредитоспособности предприятий

Применение нечётких моделей в различных областях финансово-экономической деятельности (банкротств, оптимизация портфеля, оценка финансового состояния и др.) приобрело значительно обобщение в работах А.O. Недoсекина [56], [57], [58]. Он формулирует идею в работе [56.], в кoтoрoй указывает, что все экономические показатели измеряются не только количественноo нo и качественноo. Для измерения необходимо определить переменную «лингвистическую» - «Уровень показатели », носителем этой переменой является область определения показателя, а терм-множествo значений состоит из совокупности (набора) нечетких подмножеств от «очень низкий» Уровень до «очень высокий» показатели . Построение системы функций принадлежности носителя  необходимo для оценки меры нечеткости показателей , соответствующих нечётким подмножествам. Самым простым способом задания является построение системы трапециевидных нечётких функций (рис. 1.б.).) Если предполагаемое значение каких-либо (показателей) параметров системы неизвестно, тогда как исходные данные можно использовать так называемые трапециевидные функцией принадлежности имеющего следующего вида (рис. 1.б.)) [12]

Эти нечёткие числа моделируются следующим высказыванием: параметры  приблизительно равны, а и однозначно находятся в интервале . В общем случае под нечеткими числами понимается нечеткое множество, имеющее выпуклую и нормальную функцию принадлежности.

Необходимо подчеркнуть, что применение аппарата нечетких множеств довольно мало применялось при анализе и разработке определённых оценок кредитоспособности предприятия. В последнее время все больше мировых банков целью повышения эффективности экономической деятельностью пытаются организовать свои финансовые деятельности с помощью исследований современной области науки.

1.7 Математические модели искусственных нейронных сетей

Появление теории искусственных нейронных сетей относится к 1940 г. к работам Уоррен McCulloch и Уолтер Питтс [116]. Под нейронными сетями подразумеваются вычислительные структуры, которые моделируют простые биологические процессы, ассоциируемые с процессами человеческого мозга. Элементарным преобразователем в данных сетях является искусственный нейрон или просто нейрон, названный так по аналогии с биологическим нейроном. Первое приложение на практике искусственных нейронных сетей возникло в конце 1950-х годов с работой Ф. Розенблатта, о персептроне (perceptron) [118].

НИИ были рассмотрены Arminger и Al, Desai и Al, Lee и Al (2002), West (2000), Khashman (2010), Цай и al (2009) и Oreski и al (2012 г.) в решении проблем кредитного скоринга [98], [108]. Большинство исследований показало, что нейронные сети являются более точными, гибкими и крепкими, чем классических статистических методов оценки кредитного риска (кредитоспособности) предприятия [117], [21], [22]. Как отмечают учёные [30], [48]: «области приложения нейрокомпьютинга и его приложений сильно пересекаются со сферами применения математической статистики, теории нечётких множеств и экспертных систем. Связи и параллели нейрокомпьютинга чрезвычайно многообразны и свидетельствуют о его универсальности. Многие исследования, касающиеся применения нейросетей в финансах и бизнесе, выявили их преимущества перед ранее разработанными статистическими методами». Эту же связь подтверждает Уоррен Серл [101], который составил словарь одинаковых терминологий, использующихся в этих двух разделах. Вопросам сравнения двух видов анализа посвящены также работы Кристоффа и Пьера Кувре, Дж. Такера и др. [102]. Подробная типология методов экономического прогнозирования с использованием нейронных сетей и статистических методов рассматривается в работе Ханка Д.Э., Уичерна Д.У., РайтсаА.Дж. [109].

Математически, как показано на рис. 1.3 искусственный нейрон является вычислительным блоком, получающим ряд входных данных (информаций) непосредственно из окружающей среды или из предыдущих нейронов. Когда информация поступает из нейрона, то к ней присваивается вес , который представляет собой способность предыдущего нейрона воздействовать на следующий нейрон. Каждый нейрон имеет один выход, разветвляющийся некоторым числом нейронов. Они расположены по слоям, и в диссертационном исследовании мы рассматриваем только трёхслойные нейронные сети [83].

С точки зрения математики, искусственный нейрон состоит из:

·        Набора входных данных .

·        Набора веса  между нейронами.

Рисунок 1.3: Преставление одного нейрона.

·        Функции суммирования ∑, которая вычисляет взвешенную сумму (то есть от веса) входных данных:

·        Функции активации , которая вычисляет активности / состояния нейрона из этой суммы  [83].

.7.1 Функции активации нейронной сети

Функция активации используется для построения результата взвешенной суммы входов нейрона в выходные значения, такое преобразование осуществляется расчётом состояния нейрона путём введения нелинейности в работу нейрона [103].

Существует несколько функций активации. Наиболее распространённая является сигмоидальная (логистическая) функция. В данном диссертационном исследовании используются сигмоидальные функции.

Функция нелинейная сигмоидальная. Нелинейная сигмоидальная функция часто используется в сети с помощью алгоритма обратного распространения [124]. В отличие от сигмоидальной функции, другие функции дают только двоичный выход, что делает его более трудным для оценки оптимальных весов. Сигмоидальная Функция имеет следующий вид:

,

где x - выходное значение сумматора нейрона, a - некоторая константа, которая определяет «крутизну» функций и выбирается разработчиком сети (на практике значение  обычно полагают равным 1).

Рисунок 1.4. График нелинейной сигмоидальной Функции

1.7.2 Архитектура (типы) нейронных сетей: Многослойный персептрон

Архитектура-это очень важное понятие, которое играет важную роль в классификации РНК. В литературе мы часто используем слово «структура» как синоним архитектуры [115], [112]. Каждая архитектура имеет свои собственные организации, которая, с учетом специфики каждого приложения [120], [111].

Архитектура многослойного персептрона представлена в рис. 1.5, где первый слой которого называется входным, последующие - внутренними или скрытыми, последний - выходным. Входной слой образован входными нейронами (input), которые получают данные и распространяют их на входы нейронов скрытого слоя сети (hidden Layer). Выходные нейроны (output Layer), которые образуют выходной слой сети, выдают результаты работы нейронной сети (output). Этот тип нейронных сетей довольно хорошо исследован и описан в научной литературе [74]. Он был предложен в работе Rumelhart, МсСlelland (1986) [119] и подробно обсуждается почти во всех учебниках по нейронным сетям. Каждый элемент сети позволяет построить взвешенную сумму входных величин, пропускает её через передаточную функцию и отправляет полученное значение на выход. Все элементы организованы в послойную топологию с прямой передачей сигнала. Такую сеть можно интерпретировать как модель «вход - выход», в которой веса и пороговые значения (смещения) являются свободными параметрами модели.

Для определения конфигурации предлагаемой нейронной сети и минимизации вычислительных ошибок использован алгоритм обратного распространения (back propagation) [14], который предполагает вычисление градиента поверхности ошибок. Этот вектор указывает направление кратчайшего спуска по поверхности из заданной точки в точку минимума. Параметры конфигурации предлагаемой сети представлены в таблице 3.3.

Рисунок 1.5. Архитектура трехслойного персептрона нейронной сети

1.7.3 Алгоритм обратного распространения (back propagation)

Алгоритм обучения обратного распространения заключается, в первую очередь перенаправить вперёд входные данные до тех пор, пока вход вычисляется по сети, а второй этап - это сравнить рассчитанный выход с фактическим выходом [119].

Веса модифицируются так, чтобы в следующей итерации, ошибка минимизирована между вычисленной выходной величиной и фактическим выходом. Процесс повторяется до тех пор, пока полученная ошибка являлась не незначительными (не существенным).

С точки зрения математически, можно иллюстрировать Алгоритм обучения обратного распространения следующим образом:

Пусть имеется n набор входных данных  со следующими желаемыми выходами  и выходами сети .

Тогда сумма вход n-ого угла к j-ому слою равна:

,

Тогда выход этого угла будет:

,

где  - связи между k-им нейроном j-1-ого слоя и i-им нейроном j-ого слоя.

 - входная сумма к -го нейрона для р-го наблюдения j-го слоя.

- фиктивный вес к -го нейрона j-го слоя.

Тогда можно представит общую допустимую ошибку во всех улов, следующую формулу:

,

Где  - допустимая ошибка k-го выходного узла.

Для того, чтобы минимизировать , предполагается вычисление градиента поверхности ошибок. Этот вектор указывает направление кратчайшего спуска по поверхности из заданной точки в точку минимума.

Обновление весов выходного слоя описывается с помощью следующих уравнений:

,

,

,

,

,

Таким образом, обновление весов могут быть описаны как следующие уравнения:

,

.

При использовании нейронных сетей возникают некоторые трудности. Большинство из исследований в этой области посвящено классификации или прогнозу с наличием достаточно больших статистических наборов данных [14]. Нейронные сети являются новым надёжным инструментом по работе кредитования предприятия. Поэтому в диссертационной работе, мы рассматриваем упрощённый метод прогноза значения коэффициентов Бивера, а затем на основе значений этих коэффициентов, прогнозируется финансовое состояние исследуемого предприятия с помощью алгоритма обратного функционирования нейронной сети. Приведенные результаты вычислительных экспериментов сетей (см. гл. 3), подтверждают хорошее согласие результатов, полученных с помощью модели Бивера и указывают наиболее значимые коэффициенты в этой модели.

1.8 Однокритериальные и многокритериальные задачи (принятия решения) оптимизации о возможности выдачи кредита

.8.1 Задачи однокритериальной оптимизации

В настоящее время в научной литературе существует много научных систем, в частности из области экономической деятельности, моделируя которые приходится к различным формам задач математической оптимизации. Рассмотрим сначала задачу однокритериальной задачи оптимизации принятия решения. Подобная задача имеет следующий вид [53]:

, , (1.24)

где  представляет собой допустимое множество, на котором целевая функция  максимизирует либо минимизируется от значения .

Определение. элемент  называется решением скалярной задачи оптимизации (1.24), если  для всех  [71].

Таким образом принять решение сводится к решению некоторой задачи, то есть найти экстремум целевой функции, при некоторых ограничениях. Методы математической статистики и теории вероятностей и помогают принимать решения в условиях неопределённости. ЛПР должен опираться на математическую теорию принятия решений, позволяющую оценить риск возможных потерь или оптимизировать возможный выигрыш (получаемый доход). Таким образом, можно формулировать такую задачу оптимизации

,

со следующими ограничениями

, ,

, .

В частном случае, если все перечисленные функции - линейны, то задача представляет собой задачу линейного программирования [18].

Для решения такой однокритериальной задачи существуют целые ряди методов, предназначенных также для проблемы (задачи) математического программирования.

.8.2 Задачи многокритериальной оптимизации

Пусть рассматривается задача многокритериальной оптимизации вида: функция , , определены на , .  - -мерное вещественное пространство, и отражают  соответственно в . Требуется найти

, (1)(1.25)

Существует ряд наборов методов решения задачи многокритериальной оптимизации. Такие как: метод отбора, метод прямоугольников, метод скаляризации, метод главного критерия, метод уступок, метод последовательной оптимизации, метод линейной свертки, метод по Парето и Слейтеру и т.д [52].

В данном диссертационной работе используется самый распространённый метод, то есть метод свертки критериев, а именно метод линейной свертки. Он часто встречается в научных литературах как самый простой и используемый способ сведения многокритериальной задачи оптимизации к однокритериальной, позволяющий заменить векторный критерий оптимальности  на скалярный . Он основан на линейном объединении всех частных целевых функционалов  в один [90]:

.(1.26)

Весовые коэффициенты , могут при этом рассматриваться как показатели относительной значимости отдельных критериальных функционалов . Чем большее значение мы придаём критерию , тем больший вклад в сумму (1.26) он должен давать и, следовательно, тем большее значение  должно быть выбрано.

Однако при рассмотрении существенно различных характерных частных критериев  экспертам иногда сложно указать этих коэффициентов . Связи с этим, рассматриваем в дальнейшем методику выбора , на следующих соображениях [27].