Дипломная (вкр): Оптимизационные методы оценки кредитоспособности предприятий

Предположим, что критерии  из (1.25) не ранжированы в начале. Пусть точки , ,...,  заданы. Вычислим значения , ,  и построим функцию линейной комбинации , , в которой , , предлагается выбирать (приближенно) путем решения следующей задачи квадратичного программирования [27]:

;(1.27)

; (1.28)

, . (1.29)

Для решения этой задачи численным методом можно использовать различные технические инструментальные аппараты, например, приложения Microsolf Excel.

Предположим, что на этот раз критерии представлены в (1.25), , , ранжированы следующим образом:

, (1.29)

где , , означает что,  не менее предпочтителен, чем . Однако уровень предпочтительности,  по отношению к  неизвестна (не указана). В данном случае согласно (1.30), очевидно, , , должны удовлетворять, кроме (1.28), (1.29), дополнительному условию

. (1.31)

Таким образом решение данной многокритериальной задачи (1.26) можно привести, не прибегая к помощи специализированных экспертов, к решению одной из следующего набора задач: (1.27) - (1.29), (1.31), (1.30) или (1.27) - (1.29), (1.30) [27].

В практике кредитования встречается такая многокритериальная задача, основанная на модели Бивера. Пусть предприятие обращается к кредитору с просьбой предоставить ему кредит. На момент выдачи кредита оно может принадлежать одной из трёх групп: группа 1 - благополучное финансовое состояние предприятия, группа 2 - финансовое состояние предприятия таково, что оно находится в состоянии «за 5 лет до банкротства», группа 3 - «за год до банкротства». Принадлежность кредитуемого предприятия к одной из трёх групп 1, 2, 3 определяется с помощью показателей Бивера , : к каждой из этих групп предприятие может принадлежать, если не менее трёх показателей Бивера указывают на принадлежность к этой группе [31], [99].

Процедура оценки основывается на допущении Бивера, что если не меньше 3 из возможных 5 коэффициентов относятся к группе j, то это даёт основание отнести предприятие к группе j. Сама процедура Бивера принимает решение на данных одного года. Чтобы увеличить степень надёжности принятия решения, предлагается новая усовершенствованная количественная процедура. Не на данных одного года, а основанная на данных предприятия за несколько n предшествующих лет. Предлагается способ вычисления матрицы вероятности принадлежности к одной из трёх групп коэффициентов Бивер за n лет.

В диссертации предлагается усовершенствовать существующую модель с помощью состояние системы показателей оценивать следующим образом, где  и имеется всего 48 состояний

В основе теории принятия решений полагается, что ЛПР рассматривает множество допускаемых решений, исходя из некоторых состояний среды, которая определяется этими состояниями полностью [52]. Однако в литературе отсутствуют методы принятие решений

Выводы к первой главе

В данной главе проанализировано существующие модели (зарубежных и российских) оценки важной проблемы (кредитоспособности включая банкротства и финансового предприятий). Выявлены преимущества и недостатки известных моделей и сделан вывод о необходимости их усовершенствовать с использованием математических методов. Описаны основные понятия необходимые для разработки математического аппарата для качественной и достоверной оценки кредитоспособности предприятия и принятия решения о возможности выдачи кредита.

. Отмечено, что результаты, полученные с помощью метода Альтмана с трудностью интерпретируются её выводы не всегда надёжны, потому что один из наиболее существенных недостатков метода Альтмана является дискретность вероятности банкротства p(z) от величины z и наличие промежутков между множествами Альтмана, в которых нет возможности точно количественно выразить вероятность. В данной работе предлагается усовершенствовать теорию Альтмана, путём привнесения в неё функции среднеквадратичного сглаживания и применение нечётких функций для более точного решения вопроса об отнесении предприятия к одной из 4 групп.

. До сих пор отсутствуют работы по применению теории Бивера, в которых рассматривался бы вопрос о значимости коэффициентов  с помощью оценки  при которых риск допустить среднеквадратическую ошибку в оценке эффективности портфеля, был бы минимальным. Данная методика позволяет эксперту получить дополнительную информацию о кредитоспособности исследуемого предприятия и сделать более обоснованный вывод о его финансовом состоянии.

. В литературе известен метод выбора итерационного параметра для расширения сходимости метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений в нормированных пространствах. Необходимые условия экстремума позволяют расширить данный метод на минимизацию сильно выпуклых функций

. Дано изложение и даны определения существующих понятий пространств на основе фундаментального понятия - структура, ведённая Бурбаки Н. Это позволяет более чётко видеть иерархию существующих пространств: метрического, линейного, линейного нормированного, евклидового, Гильбертова, Банахова и применять оптимальные численные методы в подходящей структуре.

. Рассмотрено определение искусственных нейронных сетей и архитектура многослойного персептрона. Описан процесс функционирование алгоритма обратного функционирования нейронной, которого предполагает вычисление градиента поверхности ошибок. Этот вектор указывает направление кратчайшего спуска по поверхности из заданной точки в точку минимума.

Оценка кредитоспособности, включая принятие решения предприятию о возможности выдачи кредита, являются в современных условиях актуальной научной и важной практической проблемой кредитующей организации, решению которой посвящены главы 2-3 диссертационного исследования.

Глава 2. Разработка математических моделей оценки кредитоспособности предприятий на основе модели Альтмана

В данной главе предложена модель, использующая аппарат теории нечётких множеств совместно с пятифакторной моделью Альтмана для оценки кредитоспособности предприятия. Модель Альтмана усовершенствована в двух отношениях: применяется среднеквадратичное интегральное приближение для точного вычисления количественной оценки кредитоспособности (вероятности банкротства) и применения аппарата нечётких множеств для упорядочения множеств по степени доверия полученной вероятности. Проведено имитационное моделирование процедуры оценки кредитоспособности и показаны возможности предложенной модели. Приведены несколько реальных примеров применения методики. Модель носит теоретический характер, выводы сделаны в рамках разработанной математической модели.

Методика определения значимости показателей и рисов при использовании методики в виде портфеля, позволяющая минимизировать среднеквадратическую ошибку оценки эффективности портфеля приведена в данной главе с помощью моделей математической оптимизации.

Для поиска экстремумов возникающих функционалов применялись разные методы: методы математических пакетов, методы штрафных функций в сочетании с градиентными методами и модифицированным методом Ньютона. В тестовых примерах использовались также и аналитические методы для отладки численных методов.

2.1. Аппарат нечётких множеств, имитационного моделирования, и среднеквадратичное интегральное приближение как инструменты оценки кредитоспособности предприятия, порождаемых различными моделями (пятифакторной моделью Альтмана)

Теория нечётких множеств и имитационное моделирование зарекомендовались себя на практике при анализе рисков банкротства и разработке методики оценки кредитоспособности предприятий. Эффективный процесс оценки кредитоспособности предприятия позволяет, с одной стороны, снизить уровень кредитных рисков банка, а с другой, создать более необходимые условия для качественного обслуживания клиентов банка, предъявляющих спрос на кредитные продукты. В последнее время все большую популярность среди математических подходов, для воспроизведения исследуемых процессов или явлений приобретает имитационное моделирование [86], которое поможет не только достоверно оценить кредитоспособность предприятия-заемщика, но и дать обоснование наиболее рационального решения (ЛПР). Для иллюстраций в дальнейшем этого параграфа, мы оперируем на пятифакторную модель Альтмана (- модель).

На основе разработанной модели, предложенной для решения поставленной задачи, могут быть построены другие методики оценки кредитоспособности предприятия, использующие результаты теории нечетких множеств и имитационных моделирований и основанные на хорошо зарекомендовавших себя в прикладные исследования методиках.

Наибольшее распространение получила пятифакторная модель Альтмана (-модель), позволяющая оценить возможность банкротства предприятия, которая, применительно к экономике США, имеет вид [93], [94]:

,(2.1)

где  - отношение собственного оборотного капитала к сумме активов,  - отношение нераспределенной прибыли к сумме активов,  - отношение прибыли до уплаты процентов к сумме активов,  - отношение рыночной стоимости собственного капитала к заемному капиталу,  - отношение объема продаж к сумме активов. Веса при коэффициентах , рассчитывались на основе множественного дискриминантного анализа (MDA-анализ) применительно к экономике США.

Применения модели Альтмана к российской экономике существуют, как пример можно упоминать проведённые исследования в работе [67]. Они подтвердили успешные приемлемости использования этой модели в российских условиях оценки кредитоспособности отраслевых предприятий. Ученые из ряда стран, проверяющие применение на практике модель, подтверждают ее надежность универсальность, адаптируя весовые коэффициенты в модели для своих стран и отраслей. Для более успешного применения данной модели в некоторых стран в том числе Мали, в общем смысла, необходимо корректировать весовые коэффициенты с учетом реальности экономики этих стран [40] [31].

Модель Альтмана вводит функцию p(z), которая равна вероятности банкротства. Вероятность банкротства рассчитывается согласно эмпирически установленной зависимости

,(2.2)

Согласно (2.2) при  вероятность банкротства предприятия  достаточно мала ( при ) и считается приблизительно равной нулю. При дальнейшем изложении проблемы примем . На рис.2.1 представлен график функции p(z) модели Альтмана (2.1). Определим две функции , .

После этого решим задачу интегрального среднеквадратичного приближения [5] множеств Альтмана полиномом достаточно высокой n -й степени, представленной следующим образом [5]:

(2.3)

на отрезке . Коэффициенты находились из минимизационной задачи в n - мерном пространстве Rⁿ коэффициентов полинома,

(2.4а)

где , , при некоторых дополнительных естественных ограничениях

, , (2.4.б)

смысл которых будет ясен из постановки задачи в пункте 2.1.1.

2.1.1 Задача интегрального среднеквадратичного приближения множеств Альтмана полиномом достаточно высокой n-й степени

Рассмотрим непрерывный аналог модели Альтмана, усовершенствованный методом среднеквадратичного приближения (2.3) в функциональном пространстве L₂ интегрируемых с квадратом функций и сравним результаты применения полиномов разных степеней [5].

a.            Полином третьей (3-й) степени

В трехмерном пространстве , полином (2.3) имеет следующий вид:

,(2.5)

С помощью специальной разработанной программы в математическом пакете MATHCAD коэффициенты полинома (2.5) находились из минимизационной задачи в трехмерном пространстве

,

где , , при дополнительных естественных ограничениях, диктуемых видом функций Альтмана

, ,

, ,

,.

У отрезка, на котором производится аппроксимация, правая крайняя точка выбрана . Выбор этой точки до некоторой степени произволен, однако прямые l₁, l₂ ограничивающие область, в которой содержатся прямоугольники, пересекаются на оси z в одной точке с координатой . Минимизационная задача решалась с помощью математического пакета MathCAD  и разработанной программы минимизации рис.2.1 а).