Материал: Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах

,

< , >

=

1

+∞

( ) ( ) −

2

2 2

1

√2

−∞

=

+∞

2

|| ||

( ( ))2

−

= < , >

2 2

Так как

√2

−∞

+ ) + ( + )

= cos

= ( + ) (

+ ) = (

Найдем линейные оценки

+ ) ≈ (

+ )

(

(

+ ) ≈

(2.1)

Так чтобы

≈ +

+

[cos( + ) −

−

] →

,

[cos(

+ ) − ] →

То

=

( )

Где

=

( ), = ( ),

и

и

есть вещественные числа и не зависят от

есть

||cos( + ) − − || →

Другими словами

||cos( + ) − ||

→

Где

Рассмотрим пространство

– множество всех многочленов со степенью

=

не выше чем

[3]

0

=

1

= +

наша задача

и

т.ч.

0

1

Множество

есть подпространство множества

[6], Таким образом

0

0

эквивалентна задаче о нахождении

+ ) −

( )||

|| (

+ ) −

( )||

=

inf

|| (

|| (

+ ) −

( )||

=

0 0

|| (

+ ) −

( )||

inf

1

1 1

1

пространство

1 0

есть базиз

в

0

и

пространство

есть

Гильбертово

Так

как

[6, 3], мы можем применить

метод неопределенных

Следовательно

< 1, ( + ) − >= 0

(2.2)

коэффицентов

√21

∫−∞+∞ ( ( + ) − ) −

222

= 0

√21

∫−∞+∞ ( + ) −

222

− √2 ∫−∞+∞ −

222

= 0

Так как

√21

∫−∞+∞ −2 22

= 1 [8]

=

1

+∞

( + )

−

2

=

1

+∞

( ( ) ( ) − ( ) ( )) −

2

2 2

2 2

√2

−∞

+∞

√2

−∞

+∞

2

=

1

( ) ( ) −

2

−

1

( ) ( )

−

2 2

2 2

√2

−∞

+∞

2

√2

−∞

+∞

2

= ( )

( ) −

−

( )

( ) −

Так как

2 2

2 2

√2

−∞

√2

−∞

Следовательно ( ) −22

∫−∞+∞ ( ) −22

= 0

=

функция

( )

2

нечётная

2

[5]

√2

∫−∞

2 22

(

)

− 22

( )

+∞

−

=

(2.3)

Векторы

1,

2

1

образуют базис

+∞

1

в

. Кроме того

Следовательно

< 1, >=

1

−2 2

= 0

1

следовательно

система

√2

−∞

{1, }

образует

базис

в

[6],

векторов

Можем

< 1, ( + ) −

>= 0

(2.4)

< , ( + ) −

>= 0

(2.5)

Решим уравнение

= cos( )

заметить что уравнения (2.4) и (2.2) одинаковы, следовательно

2

(2.5)

1

− 2

(2.6)

+∞

2

< , (

+ ) − >=

( (

+ ) − ) −

=

2 2

1

+∞

√2 2

−∞

+∞

2

( + ) −

−

2 −

= 0

Так как

2 2

2 2

√2

−∞

1

+∞

√2

−∞

2

2 −

= 2

Следовательно

2 2

√2

−∞

2

2

=

1

+∞

( + ) −

=

2 2

1

+∞

√2

−∞

1

+∞

2

=

( ) ( ) −

2

−

( ) ( )

−

=

2 2

2 2

√2

−∞

+∞

2

√2

−∞

+∞

2

=

( )

( ) −

−

( )

( ) −

2 2

2 2

√

2

−∞

√

2

−∞

( ) −2 2

∫−∞+∞ ( ) −2 2 = 0

Так как функция

2

нечётная

2

Следовательно

2

= − ( )

+∞

( ) −

2

2 2

= − √2 3

∫−∞

( )

2

√2

−∞

2

= −( ) −

( )

+∞

−

22

2

(2.7)

= sin

= (

+ ) (

+ ) = ( + ) + (

+ )

Таким образом все коэффиценты в (2.1) найдены. Повторим процесс для

(

+ ) ≈ (

+ )

Найдём линейные оценки

( + ) ≈

Аналогично (2.2)

≈

+

+

(2.8)

Следовательно

1

< 1, ( + ) − >= 0

(2.9)

+∞

( ( + ) − ) −

2

= 0

√

2 2

−∞

2

+∞

2

1

+∞2

( + ) −

−

−

= 0

2 2

2 2

2

2

√21

∫−∞+∞ −2 2

= 1

+∞

√2 −∞ Therefore, since

+∞

√2

−∞2

[8]

1

1

=

( + ) −