Документ: Основы физической химии, страницы 571-575

Приложение IV. Математический минимум

219

Свойства определенного интеграла

1. При перестановке пределов интегрирования интеграл меняет знак:

ba

f(x)dx = − f(x)dx

ab

2.Определенный интеграл — линейный функционал:

b	b	b
[cf(x) + dg(x)] dx = c	f(x)dx + d	g(x)dx (c, d = const)
a	a	a

3. Область интегрирования можно разбивать на несколько частей:

b

c

b

f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx

a

c

4. Замена переменных:

bu(b)

f(x)dx =	f [x(u)]	dx	du

		du

au(a)

5.Интегрирование по частям:

b						b
f(x)g (x)dx = f(x)g(x)\|ab − f (x)g(x)dx
a						a
6. Некоторые определенные интегралы
∞	,a					(a > 0)
e−ax dx =	,a					(a > 0)
2				π
−∞
∞					1
e−axdx =					1
e−axdx =					a
					a
0
∞			n!
xne−axdx =			n!			(n 0)
xne−axdx =		a	n+1			(n 0)
			n+1

0

ππ

sin2(nx)dx =	cos2(nx)dx =	π			(n — натуральное число)
sin2(nx)dx =	cos2(nx)dx =	2			(n — натуральное число)
0	0
∞					a
e−ax cos(bx)dx =					a		(a > 0)

			a	2	+ b	2
0			a		+ b
0

220

Приложение IV. Математический минимум

∞

b

e−ax sin(bx)dx =

(a > 0)

a

2

+ b

2

0

Степенные ряды

Разложение в ряд

Линейное приближение

Ряд Тейлора:

f(x) =

∞

f(n)(a)

(x

−

a)n

f(x)

f(a) + f (a)(x

−

a)

n=0

n!

Ряд Тейлора–Маклорена:

f(x) =

∞

f(n)(0)

xn

f(x)

f(0) + f (0)x

n=0

n!

Элементарные функции:

e

x

∞ xn

x

1 + x

= n=0

e

n!

n x2n+1

∞

sin x = n=0

(−1)

sin x x

(2n + 1)!

∞

(−1)

n x2n

cos x 1

cos x = n=0

(2n)!

k

k!

(1 + x)k = n=0

xn

(1 + x)k 1 + kx

n!(k − n)!

1

∞

n

1

1 + x

= n=0 x

1 − x

∞

n+1 xn

ln(1 + x) = n=1

(−1)

ln(1 + x) x

n

Равномерно сходящиеся степенные ряды можно почленно дифференциро-

вать и интегрировать:

d

∞

f(n)(0)

∞

f(n)(0)

∞

f(m+1)(0)

dx f(x) = dx

n!

(n

−

1)! xn−1 ≡

m! xm

xn =

n=0

n=1

m=0

Пример:

d

∞

n x2n+1

∞

n x2n

dx

sin x =

dx

(−1)

(2n + 1)!

=

(−1)

(2n)!

= cos x

n=0

∞

f(x)dx =

n=0

f(n)(0)		∞	f(n)(0)
	xn dx =			xn+1 + C
n!		n=0	(n + 1)!

Пример:

−			xn+1
dx	∞	∞	xn+1
1 x	=	xndx =	n + 1	+ C = − ln(1 − x) + C
	n=0	n=0

Приложение IV. Математический минимум

221

Раскрытие неопределенностей 0/0

Если f(x) = p(x)/q(x), где p(x) и q(x) непрерывны и дифференцируемы нужное число раз, и если p(a) = q(a) = 0, то


lim	p(x)	= lim	p	(x)	,

x→a q(x)		x→a q (x)

если этот предел существует.

Доказательство основано на линейном разложении функций p(x) и q(x) в ряд вблизи точки a:

lim

p(x)

= lim

p(a) + p

(a)(x − a)

= lim

p (a)(x − a)

=

p

(a)

x→a q(x)

x→a q(a) + q

(a)(x − a)

x→a q (a)(x − a)

q (a)

Пример:

eax − ebx

aeax − bebx

lim

= lim

= a

−

b

x 0

x

x 0

1

→

Дельта-функция

Дельта-функция δ(x), или функция Дирака, определяется условием:

∞

f(x)δ(x)dx = f(0),

−∞

где f(x) — произвольная функция, непрерывная в нуле.

Из определения следует, что дельта-функция равна 0 при всех x, кроме x = 0, где она имеет бесконечно большое значение, так что

∞

δ(x)dx = 1.

−∞

Дельта-функция представляет собой производную от ступенчатой функции Хевисайда:

							δ(x) =	d	H(x),
где H(x) =							δ(x) =	dx	H(x),
								dx
		1		при		x <	0
		0		при			0

				при x = 0
		2		при x = 0
	1			при x > 0

Свойства	дельта-функции
Свойства
1. δ(ax) =		1		δ(x), a > 0
1. δ(ax) =			a	δ(x), a > 0
			a
2. δ(−x) = δ(x),
3. f(x)δ(x) = f(0)δ(x),
4. δ(f(x)) = i						1	δ(x − xi), где xi — корни уравнения f(x) = 0.

					\|f (x)\|

222 Приложение IV. Математический минимум

Интегральное представление дельта-функции

	1	∞
δ(x) =		eiωxdω
	2π

−∞

Аппроксимации дельта-функции (δ(x, α) → δ(x) при α → 0)

α при − 1 < x < 1

1. δ(x) = 2α 2α

0при остальных x

2.	δ(x, α) =	1		α
		π 1 + α2x2

3.	δ(x, α) =	α		exp(−α2x2)
		√
			π

4.δ(x, α) = α sin(αx)

παx

Дифференциальные уравнения

Основные уравнения закона действующих масс в химической кинетике сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка вида

dxdt = f(x, t),

где x(t) — концентрация или давление, t — время, или к системам дифференциальных уравнений первого порядка

	dt	...	=	...
	d	x1(t)		f1(x1, ... , xn, t)
	d
		xn(t)		fn(x1, ... , xn, t)
Метод разделения переменных

Уравнение первого порядка

dx

= f(x) c начальным условием x(0) = 0 имеет

x

dt

dx

общее решение: t =

f(x)

0

Уравнение

Начальное условие

Решение

dx

= −kx

x(0) = a

x(t) = ae−kt

dt

dx

t(x) =

1

ln

a

= k(a − x)

x(0) = 0

dt

x(t) = a 1 e−kt

k

a

− x

dt

= k(a − x)

, n = 1

x(0) = 0

t = k(n − 1)

(a − x)n−1

− an−1

dx

n

1

−

1

dx

= k(a − x)(b − x), a = b

x(0) = 0

1

(a − x)b

t =

ln

dt

k(a − b)

(b − x)a

dt

= −kx + f(t)

x(0) = a

x(t) = e−kt a + 0 f(t)ektdt

dx

t

Приложение IV. Математический минимум

223

Матрицы и определители

Если m · n выражений расставлены в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов

a11

a12 ...

a1n

-

A =

aik

=

- a21

a22 ...

a2n

,

- ... ... ...

...

-

-am1 am2 am3

amn-

-

то говорят о матрице размера

-n

. Выражения

называют элементами мат-

m

×

a

ik

-

рицы. Матрица A размера n × n называется квадратной. Квадратная матрица порядка n называется:

• диагональной, если aik = 0 для всех i = k,

•	единичной, если a		= δ		=	0	при i = k .
•		ik		ik		+1	при i = k

Элементы, стоящие на диагонали квадрата, выходящей из левого верхнего угла в правый нижний, называют главными диагональными элементами. Элементы, стоящие на диагонали, выходящей из правого верхнего угла в левый нижний, называют побочными элементами.

Каждой квадратной матрице порядка n можно однозначно поставить в соответствие действительное или комплексное число D, называемое определителем матрицы:

a11

a12

...

a1n

-

a11

a12 ...

a1n

D = det A = det

- a21

a22

... a2n

=

a21

a22 ...

a2n

=

- ... ...

...

-

... ... ...

...

-

am3

-

-am1 am2

amn-

am1 am2 am3

amn

-

=

(

1)Z(π)a

1i1

a

2i2

... a

nin

,

-

−

n

где π — подстановка чисел 1, 2, ..., n, а Z(π) — число инверсий подстановки. Минором Mik элемента aik называют определитель порядка n − 1, получа-

ющийся из определителя D «вычеркиванием» i-й строки и k-го столбца. Под алгебраическим дополнением Aik элемента aik понимают минор Mik, домноженный на (−1)i+k.

Свойства определителей

1. Перестановка строк может изменить лишь знак определителя. В общем

случае

D(z1, z2, ..., zn) = (−1)Z(π)D(zπ(1), zπ(2), ...zπ(n))

2. Общий для всех элементов строки множитель можно выносить за знак определителя

D(z1, z2, ...αzk, ..., zn) = αD(z1, z2, ...zk, ..., zn)

3. При сложении двух определителей, различающихся только одной строкой, соответствующие элементы этой строки складываются:

D(z1, z2, ...zk, ..., zn) + D(z1, z2, ..., zk, ..., zn) = D(z1, z2, ..., zk + zk, ..., zn) 4. Прибавление кратного k-й строки к i-й строке не изменяет значение

определителя.

D(z1, z2, ... , zi, ...zk, ..., zn) = D(z1, z2, ... , zi + αzk, ...zk, ..., zn)

Материал: Основы физической химии

Смотрите также: