Материал: Основы физической химии

происходит при изменении управляющих параметров или начальных условий. Такое поведение характерно для сильно неравновесных систем, где большую роль играет нелинейная зависимость потоков от сил.

Простейшим примером, демонстрирующим зависимость поведения нелинейной системы от управляющих параметров, служит логистическое отображение

которое описывает динамику биологической популяции в замкнутой среде. Здесь xn — численность популяции за n-й год наблюдения (значения xn обычно нормируют на единичный интервал), r — параметр, зависящий от условий жизни. В зависимости от значения r возможны различные сценарии поведения системы (рис. 28.1).

x∞

1

0,8

0,6

0,4

Периодическое

поведение

0,2

0

Рис. 30.1. Предельные значения логистического отображения (28.3) при различных значениях управляющего параметра r

1)При r < 1 популяция исчезает: x∞ = 0.

2)При 1 < r < 3 численность популяции стремится к единственному пре-

дельному значению x∞ = 1 − r1 , которое устойчиво.

3)При 3 < r < r∞ = 3,5699456... предельного значения нет: численность

популяции, независимо от начального значения x0, колеблется между несколькими значениями, число которых равно 2k, k = 1, 2, ...∞ в зависимости от r. Такой режим называют периодическим.

4)При r∞ < r < 4 поведение системы становится полностью хаотическим

инепредсказуемым. При увеличении n численность популяции может принимать любые значения в интервале от 0 до 1, а набор {xn} имеет свойства случайной последовательности чисел.

Таким образом, при изменении параметра r, который определяет роль нелинейных эффектов, состояние системы изменяется от равновесного до хаотиче-

Во многих случаях состояния, к которым стремятся неравновесные системы, имеют высоко упорядоченную пространственно-временную структуру; процесс образования таких состояний называют самоорганизацией. Многочисленные исследования в области нелинейной динамики показали, что

самоорганизация возможна в нелинейных, сильно неравновесных системах в определенном диапазоне изменения управляющих параметров.

Рассмотрим в качестве примера слой жидкости, находящийся между двумя горизонтальными плоскостями. Когда температуры верхней и нижней границ равны, система находится в состоянии теплового равновесия, а жидкость является совершенно однородной. Вывести жидкость из состояния равновесия можно путем небольшого подогрева нижнего слоя. При постоянном подводе теплоты в системе установится стационарное состояние, в котором теплота будет переноситься от нижнего слоя к верхнему, а свойства жидкости — температура и плотность — будут линейно изменяться от теплой области к холодной. Такое явление называют теплопроводностью. Оно описывается уравнениями линейной неравновесной термодинамики.

При увеличении разности температур между нижним и верхним слоями наблюдается новое явление: при T , превышающем некоторое критическое значение Tc, жидкость структурируется в виде небольших ячеек — так называемых ячеек Бенара (рис. 28.2.а). Жидкость в этих ячейках находится в движении — такой режим называют тепловой конвекцией, причем в соседних ячейках направление вращения потоков жидкости противоположно (рис. 28.2.б). Образование ячеек Бенара — пример самоорганизации в сильно неравновесной системе.

T1 < T2

T2

Рис. 30.2. а — Ячейки Бенара. б — Движение жидкости в ячейках Бенара

332 Гл. VI. Элементы неравновесной термодинамики

Для явлений самоорганизации характерны два основных свойства:

1) нарушение симметрии системы — при образовании ячеек Бенара жидкость становится неоднородной, ее симметрия понижается;

через критическое значение λc происходит бифуркация — устойчивое стационарное состояние становится неустойчивым (показано пунктиром) и образуются еще два устойчивых стационарных состояния (бистабильность). К какому из этих двух состояний перейдет система из неустойчивого состояния, определяется случайными флуктуациями.

Дальнейшее увеличение разности температур в эксперименте Бенара приведет к разрушению ячеек и возникновению турбулентности, когда свойства потока жидкости станут хаотическими. Таким образом, по мере отклонения от равновесия жидкость проходит через последовательность режимов:

Эта последовательность является довольно общей для многих видов систем — физических, химических, биологических, социальных.

Устойчивость стационарных состояний

Представив решение в виде линейной комбинации функций exp(λ1t) и exp(λ2t), сведем систему дифференциальных уравнений (30.5) к системе линейных алгебраических уравнений, нетривиальное решение которой существует при

Стационарное состояние будет устойчивым, если действительные части обоих корней отрицательны: Re {λ1,2} < 0. В этом случае любое отклонение от стационарного состояния со временем экспоненциально затухает. Когда хотя бы один из корней имеет положительную действительную часть, Re {λi} > 0, стационарное состояние неустойчиво, малые отклонения со временем экспоненциально растут. Если оба корня чисто мнимые, 1) то система имеет нейтральную устойчивость и совершает периодическое движение по замкнутой траектории вокруг стационарного состояния.

Линейный анализ устойчивости не позволяет описать динамику системы при удалении от неустойчивого стационарного состояния. Для полного понимания надо исследовать нелинейные эффекты (см. т. 2, пример 28-2). В нелинейных системах устойчивые стационарные состояния могут представлять собой не только отдельные точки, как в линейном режиме, но и целые траектории или поверхности. Такие состояния называют аттракторами, так как они «притягивают» к себе все близлежащие траектории в фазовом пространстве. В системах с тремя и более измерениями аттракторы могут представлять собой фрактальные объекты дробной размерности, их называют странными аттракторами. Первый странный аттрактор был открыт Э. Лоренцем в 1963 г. при исследовании нелинейной системы уравнений, описывающих динамику

Эта система обладает очень богатым репертуаром различных сценариев поведения, зависящих от управляющих параметров r, σ, b. Один из странных аттракторов для этой системы изображен на рис. 28.4. При увеличении размерности сложность динамических систем стремительно возрастает.

1) То есть действительная часть равна 0.

y

x

Рис. 30.4. Аттрактор Лоренца при r = 28, σ = 10, b = 8/3

Общей теории нелинейных динамических систем, находящихся вдали от положения равновесия, не существует. Сочетание нелинейности и неравновесности может приводить к невероятно сложному динамическому поведению, в котором большую роль играют флуктуации и чувствительность к начальным условиям. Именно такие системы являются типичными в нашей жизни, и именно поэтому изучение окружающего мира представляет огромный интерес для исследователей.