Материал: Основы инженерного эксперимента. Солженикин П.А., Стогней В.Г
будет x . Пусть α означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую, чем Δx .
Это принято записывать в виде
P(−Δx < x− |
x |
< Δx) =α |
(4.14) |
или
P( |
x |
−Δx < x < |
x |
+Δx) =α . |
(4.15) |
Вероятность α называется доверительной вероятностью, или коэффициентом надежности. Интервал значений от x −Δx до x +Δx называется доверительным интервалом.
Выражение (4.15) означает, что с вероятностью, равной α, истинное значение измеряемой величины не выходит за пределы доверительного интервала от x +Δx до x −Δx. Разумеется, чем большей надежности мы требуем, тем большим получается соответствующий доверительный интервал, и, наоборот, чем больший доверительный интервал задаем, тем вероятнее, что результаты измерений не выйдут за его пределы.
Итак, для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать два числа, а именно: величину самой ошибки (или доверительного интервала) и величину доверительной вероятности. Указание одной только величины ошибки без указания соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла, так как при этом не знаем, сколь надежны наши данные. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата. Необходимая степень его надежности опять-таки задается характером производимых измерений. Более высокая степень надежности, требуемая при ответственных измерениях, означает, что при их производстве
75
нужно выбирать большой (в долях σ) доверительный интервал. Иначе говоря, для получения той же величины ошибки Δx следует производить измерения с большей точностью, т. е. нужно тем или иным способом уменьшить в соответствующее число раз величину σ. Одна из возможностей такого увеличения состоит в многократном повторении измерений.
При обычных измерениях можно ограничиться доверительной вероятностью 0,9 или 0,95.
Для измерений, по условиям которых требуется чрезвычайно высокая степень надежности, иногда задают доверительную вероятность 0,997. Большая величина доверительной вероятности в подавляющем большинстве измерительных задач не требуется.
Удобство применения стандартной ошибки в качестве основного численного выражения погрешности наблюдений заключается в том, что этой величине соответствует вполне определенная доверительная вероятность, равная 0,68. (Здесь и дальше полагаем, что ошибки распределены по нормальному закону). Для любой величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления были проделаны, и их результаты сведены в табл. 4.1
Таблица 4.1 Доверительные вероятности α для доверительного интервала, выраженного в долях средней квадратичной ошибки ε = ΔΧ/σ
ε |
α |
ε |
α |
ε |
α |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1,2 |
0,77 |
2,6 |
0,990 |
0,05 |
0,04 |
1,3 |
0,8 |
2,7 |
0,993 |
0,1 |
0,08 |
1,4 |
0,84 |
2,8 |
0,995 |
0,15 |
0,12 |
1,5 |
0,87 |
2,9 |
0,996 |
|
|
|
|
|
|
76
Продолжение табл. 4.1
0,2 |
0,16 |
1,6 |
0,89 |
3 |
0,997 |
0,3 |
0,24 |
1,7 |
0,91 |
3,1 |
0,9981 |
0,4 |
0,31 |
1,8 |
0,93 |
3,2 |
0,9986 |
0,5 |
0,38 |
1,9 |
0,94 |
3,3 |
0,9990 |
0,6 |
0,45 |
2 |
0,95 |
3,4 |
0,9993 |
0,7 |
0,51 |
2,1 |
0,964 |
3,5 |
0,9995 |
0,8 |
0,57 |
2,2 |
0,972 |
3,6 |
0,9997 |
0,9 |
0,63 |
2,3 |
0,978 |
3,7 |
0,9998 |
1 |
0,68 |
2,4 |
0,984 |
3,8 |
0,99986 |
1,1 |
0,73 |
2,5 |
0,988 |
3,9 |
0,99990 |
|
|
|
|
4 |
0,99993 |
|
|
|
|
|
|
Приведем примеры пользования таблицей.
Пусть для некоторого ряда измерений получили x = 1,27, σ = 0,032. Какова вероятность того, что результат отдельного измерения не выйдет за пределы, определяемые неравенством
1,26< xi <1,28?
Доверительные границы нами установлены в ± 0,01, что составляет (в долях σ ) 0,01:0,032=0,31. Из таблицы находим, что доверительная вероятность для ε = 0,3 равна 0,24.
77
Иначе говоря, приблизительно 1/4 измерений уложится в интервал ошибок ±0,01. Определим теперь, какова доверительная вероятность для границ 1,20< xi <1,34. Значение этого интервала, выраженное в долях σ, будет ε = 0,07 : 0,032 ≈ 2,2. По таблице находим значение α для ε = 2,2, оно равно 0,97. Иначе говоря, результаты приблизительно 97% всех измерений будут укладываться в этот интервал.
Какой доверительный интервал нужно выбрать для тех же измерений, чтобы примерно 98% результатов попадали в него? Из таблицы находим, что значению α = 0,98 соответствует значение ε=2,4, следовательно, ε=0,032∙2,4≈0,077, и указанной доверительной вероятности соответствует интервал
1,193<x<1,347 или, округляя, 1,19<x<1,35; иногда этот результат записывают в виде x=1,27±0,08 с доверительной вероятностью 0,98.
Итак, для нахождения случайной ошибки нужно определить два числа: доверительный интервал (величину ошибки) и доверительную вероятность. Средней квадратичной ошибке σ соответствует доверительная вероятность 0,68, удвоенной средней квадратичной ошибке (2σ) – доверительная вероятность 0,95, утроенной (3σ) – 0,997.
Для других значений ошибок доверительная вероятность определяется также по табл. 4.1.
Определение доверительного интервала и доверительной вероятности.
В тех случаях, когда делаем измерения с помощью уже хорошо исследованного метода, ошибки которого известны, мы заранее знаем величину σ. Как правило, погрешность метода приходится определять в процессе измерений. И обычно можно определить только величину Sn, соответствующую тому или иному, но всегда сравнительно
78
небольшому числу измерений n ( S2 , S3 ,…, Sn ). Здесь Si (i = 2,3,...,n) означают средние квадратичные ошибки отдельного измерения для случаев двух, трех, четырех и т. д. измерений. Если для оценки доверительной вероятности будем считать, что полученные значения Sn совпадают с величиной σ, и воспользуемся табл. 4.1 для нахождения доверительной вероятности, то найдем неверные (завышенные) значения α.
Это – результат того, что при определении среднеквадратичной ошибки из малого числа наблюдений находим последнюю с малой точностью. Происходящая вследствие этого погрешность в определении ошибки приводит к тому, что, когда заменяем Sn на σ , мы уменьшаем надежность нашей оценки, причем, тем сильнее, чем меньше величина n.
Для того, чтобы учесть это обстоятельство, интервал Δx
можно представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
t |
S |
. |
(3.16) |
|||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
. |
|
|||
t n |
|
|
n |
(3.17) |
|||||
Sn |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесьt n – коэффициент Стьюдента.
Значения коэффициентов t n вычислены по законам
теории вероятностей для различных значений n и α и приведены в табл. 4.2.
79