Материал: Основы инженерного эксперимента. Солженикин П.А., Стогней В.Г

Таблица 4.2

Коэффициенты Стьюдента tα.n

80

Продолжение табл. 4.2

81

Используя коэффициенты Стьюдента, мы можем переписать равенство (3.15) в виде

Пользуясь этим соотношением, легко определить доверительные интервалы и доверительные вероятности при любом небольшом числе измерений. Приведем примеры применения табл. 4.2.

1. Пусть среднее арифметическое из 5 измерений будет

31,2. Средняя квадратичная ошибка, определенная из этих 5 измерений, равна 0,24. Мы хотим найти доверительную вероятность того, что среднее арифметическое отличается от истинного значения не более чем на 0,2, т. е. будет выполняться неравенство 31,0< x <31,4.

Значение t n , найдем, подставив полученные результаты в формулу (4.17),

По таблице находим для n = 5 при α = 0,8 t0,8;5 =1,5 и при

α=0,9 t0,9;5 = 2,1.

Вообще говоря, можно обычно удовлетвориться ответом, что доверительная вероятность для этого случая лежит между 0,8 и 0,9. Если нужно получить более точное значение, нужную величину вычисляем из пропорции

82

откуда

Δα = 0,1∙0,36/0,6 =0,06, α =α1 + Δα = 0,8+0,06 =0,86.

Таким образом, доверительная вероятность для этого случая получается равной 0,86.

2. Вычислим теперь, какова доверительная вероятность в случае 10 измерений при той же среднеквадратичной погрешности 0,24 и том же доверительном интервале 31,0– 31,4.

По формуле (4.17) определяем

0,2 10

t ,10 0,24 2,6.

Из табл. 4.2 находим, что ближайшее меньшее значение t ,10= 2,3 для α =0,95 и ближайшее большее значение t ,10= 2,8

для α =0,98.

Пропорциональную часть найдем из соотношения

a 0,3 0,03 0,02. 0,5

Окончательно α =0,67.

4.5. Группы систематических погрешностей и методы их компенсации

При производстве измерений необходимо учитывать и исключать систематические ошибки, которые в ряде случаев могут быть так велики, что совершенно исказят результаты измерений.

83

Систематические погрешности (ошибки) можно разделить на четыре группы.

1. Погрешности, природа которых нам известна, и их величина может быть достаточно точно определена.

Такие ошибки могут быть устранены введением соответствующих поправок. Источники таких ошибок нужно тщательно анализировать, величины поправок определять и учитывать в окончательном результате.

Поясним это на примере измерения длины. Допустим, что определяем диаметр латунного цилиндра с помощью стальной измерительной линейки, изготовленной при температуре 0º, а измерения проводятся при температуре 25º С. Допустим, измеряемый диаметр имеет размер около 10 см и нужно узнать его длину при температуре 0º. Коэффициент линейного расширения латуни 19∙10−6 1/град, стали – 11∙10−6 1/град.

При нагревании на 25º удлинение используемого участка измерительной линейки составит 0,027 мм, а увеличение диаметра цилиндра – 0,047 мм. Разность этих величин, т.е. 0,02 мм, и является поправкой измерений.

Обычно стальная линейка имеет миллиметровые деления. Если считать, что на глаз можно относительно уверенно отсчитать 0,2 деления, то 0,2 мм и будет той точностью, которая обычно достижима с помощью такого измерительного инструмента. Примерно с такой же точностью нанесены и деления на линейке. Видим, что 0,02 мм, которые дает температурная поправка, настолько меньше погрешности, вносимой самой линейкой и способом отсчета, что введение этой поправки лишено смысла. Другое дело, если те же самые измерения производим с помощью точного измерительного микрометра, дающего возможность произвести измерения диаметра с точностью до 0,001 мм. Введение той же самой поправки 0,02 мм при этом не только целесообразно, но совершенно необходимо.

Величина поправок, которые еще есть смысл вводить, разумеется, устанавливается в зависимости от величин других

84