Материал: Основы инженерного эксперимента. Солженикин П.А., Стогней В.Г

(1− 0,003)n =1− 0,003n.

Обычно число производимых измерений не очень велико, сравнительно редко оно превышает 10 − 20. При этом точное значение σ неизвестно, следовательно, отбрасывать измерения, отличающиеся от среднего более чем на 3σ , нельзя.

При n, большем 25, можно для расчетов такого рода положить Sn=σ и оценку β определять, пользуясь соотношением

β ≈αn .

На практике при небольшом числе измерений (n<25) применяется способ выявления случайных погрешностей, алгоритм которого приведен ниже.

Алгоритм определения грубых погрешностей.

Пусть известен ряд измерений случайных величин:

x1, x2 ,..., xr , xn.

Необходимо установить, есть ли среди этих значений измерения, проведенные с грубыми погрешностями (промахами).

Пусть xk – первое подозреваемое на грубую погрешность. Вычисляем среднеарифметическое с учетом подозреваемой величины xk и оценку СКО Sn. Определяем величину максимального отклонения в долях

среднеквадратической ошибки:

90

Vmax xk x .

Sn

По таблице оценки выскакивающих измерений, зная число измерений n и Vmax, находим вероятность β того, что данное измерение содержит случайную погрешность.

Рис. 4.5. Оценка промахов

В случае β ≥ 0,1 измерение xk содержит случайную погрешность. Если вероятность появления данного измерения в ряду лежит в промежутке 0,1>β >0,01, то представляется одинаково правильным оставить это измерение или отбросить.

При β ≤ 0,01 в данном измерении присутствует грубая погрешность, это измерение нужно исключить из ряда, после чего нужно пересчитать x и Sn оставшихся измерений.

4.7. Определение числа измерений

Допустим, что все систематические ошибки учтены, т.е. поправки, которые следовало определить, вычислены, класс точности прибора известен и есть уверенность, что отсутствуют какие-либо существенные и неизвестные источники систематических ошибок.

91

В этом случае результаты измерений все же не свободны от случайных ошибок, правила вычисления которых даны ниже. Если случайная ошибка окажется меньше систематической, то очевидно, что нет смысла пытаться еще уменьшить величину случайной ошибки: все равно результаты измерений не станут от этого заметно точнее, и, желая получить большую точность, нужно искать пути к уменьшению систематической ошибки. Наоборот, если случайная ошибка больше систематической, то именно случайную ошибку нужно уменьшать в первую очередь.

Мы уже говорили, что если произвести ряд измерений и взять среднее арифметическое из этого ряда, то случайная ошибка этого среднего будет меньше, чем ошибка единичного измерения. Поэтому для уменьшения случайной ошибки следует произвести не одно, а ряд измерений, причем, как увидим дальше, тем больший, чем меньшую величину случайной ошибки хотим получить. Однако очевидно, что нет смысла производить измерений больше, чем это необходимо, чтобы систематическая ошибка существенно превышала случайную.

Отсюда вытекают следующие правила.

1.Если систематическая ошибка является определяющей, т.е. ее величина существенно больше величины случайной ошибки, присущей данному методу, то достаточно выполнить измерение один раз.

2.Если случайная ошибка является определяющей, то измерения следует производить несколько раз. Число измерений целесообразно выбирать таким, чтобы случайная ошибка среднего арифметического была меньше систематической ошибки с тем, чтобы последняя опять определяла окончательную ошибку результата.

Для уменьшения случайной ошибки результата, как мы уже знаем, могут быть использованы два пути: улучшение точности измерений, т.е. уменьшение величины σ, и увеличение числа измерений, т.е. использование соотношения

92

Сейчас будем говорить только о последнем приеме, считая, что все возможности совершенствования техники измерений уже использованы. Пусть систематическая ошибка измерений, определяемая классом точности прибора или другими аналогичными обстоятельствами, будет δ .

Известно, что уменьшать случайную ошибку целесообразно только до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью определяться систематической ошибкой. Для этого необходимо, чтобы доверительный интервал, определенный с выбранной степенью надежности, был бы существенно меньше величины систематической ошибки. Иначе говоря,

Разумеется, нужно условиться, какой степени надежности α мы требуем и какую величину для случайной ошибки следует считать допустимой, т. е. какое соотношение величин Δx и δ можно считать удовлетворяющим условию (3.20).

Строгую оценку этого сделать трудно, однако можно исходить из того, что, как правило, нет необходимости определять общую ошибку с точностью большей 10%. Это означает, что в том случае, когда Δx ≤δ /10, условие (3.20) можно считать выполненным. Практически обычно можно удовлетвориться гораздо менее жестким требованием: Δx≤δ/3 или даже Δx≤δ/2 .

Надежность α, с какой хотим установить доверительный интервал, в большинстве случаев не должна превышать 0,95, хотя иногда требуются и более высокие значения α. Для

93

оценки необходимого числа измерений имеется табл. 4.3, в которой Δx дано в долях средней квадратичной ошибки.

Таблица 4.3 Необходимое число измерений для получения случайной

ошибки ε с надежностью α

Примеры.

1. Измеряется диаметр шарика с помощью микрометра, имеющего погрешность в 1 мкм. Средняя квадратичная погрешность единичного измерения равна 2,3 мкм. Сколько

94