Материал: Основы квантовой физики. методические указания к решению задач по дисциплине «Физика» для студентов всех технических направлений. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

7. Какого размера должна быть одномерная прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками, чтобы локализованная в ней частица имела на самом глубоком уровне энергию Е=1эВ. Задачу решить для электрона и протона. [ ; м; м]

8. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти ширину ямы, если разность энергии между уровнями с n₁=2 и n₂=3 составляет = 0,3 эВ. [2,5 нм]

9. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти массу частицы, если ширина ямы d и разность энергий энергетических уровней n₁ и n₂ равна . [ ]

10. Частица массой m находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы равно . Найти ширину ямы и энергию частицы в данном состоянии. [ ; ]

11. Частица в потенциальном ящике шириной d находится в возбужденном состоянии (n=2). Определить, в каких точках интервала (0<х<d) плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное и минимальное значения. [максимум при x₁=d/4, x₃=3d/4; минимум при x₂ =d/2]

12. Электрон находится в потенциальном ящике шириной d. В каких точках интервала (0<х<d) плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить значение плотности вероятности для этих точек. [х₁ =d/3; x₂ = 2d/3; ]

13.Частица в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике находится в низшем возбужденном состоянии. Какова вероятность обнаружения частицы в крайней четверти ящика? [0,33]

14. В прямоугольном потенциальном ящике шириной d находится частица в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервале d/4 равноудаленном от стенок ящика. [0,091]

15. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике находится в основном состоянии (n=1). Какова вероятность обнаружения частицы в крайней трети ящика? [0,2]

. (4)

Решением данных уравнений являются функции

, 5)

. (6)

Эти функции после умножения на временной мно­житель будут представлять собой суперпозицию волн де Бройля, распространяющихся в обе стороны, а квадраты их амплитуд - интенсивности этих волн.

В области 1 распространяются как падающая, так и отраженная волны с интенсивностями = (A₁)² и = (В₁)². В области 2 распространяется только проходящая волна, поэтому В₂= 0.

Предположим, что амплитуда падающей волны А₁ =1, вычислим амплитуды В₁ и А₂. Воспользовавшись условиями непрерывности пси-функции и ее производной

, .

Получим:

А₁ + В₁ = А_2, (7)

k₁(А₁-В₁) = k₂А_2. (8)

Решение данной системы дает следующие выражения для искомых коэффициентов:

, (9)

. (10)

Коэффициент отражения R, определяющий вероятность отражения частицы от потенциального барьера, выражается формулой

= . (11)

На основании закона о сложении вероятностей можно утверждать с достоверностью, что налетающая на барьер частица либо отразится от него, либо пройдет далее, т.е. выполняется условие , где D – коэффициент прохождения частицы через барьер. Учитывая данное соотношение, найдем выражение для коэффициента прохождения частицы

.

Н а рис. 3.3 изображена действительные части падающей волны ( ) и прошедшей волны ( ). Выполнение ус­ловий непрерывности пси-функции и ее производной приводит к плавному сопряжению косинусоид.

З

Решение

Для высокого потенциального барьера в области x<0, уравнение Шредингера имеет вид

, (1)

а его решение

. (2)

В области x>0 уравнение Шредингера запишется следующим образом

, . (3)

Решение данного уравнения имеет вид

(4)

Воспользовавшись условиями непрерывности волновой функции и ее первой производной в точке x=0, получим систему уравнений,

(5)

,

из которых следует, что амплитуда отраженной волны равна

, (6)

где .

Вычисления модуля амплитуды отраженной волны дают единицу, из чего следует, что в стационарном состоянии вся энергия падающей волны отражается, но под «ступенькой» существует экспоненциально затухающая волновая функция с амплитудой

. (7)

На рис.3.5 изображены действительная часть падающей волны де Бройля движущейся частицы в области 1 и экспоненциально убывающая волновая функция в области 2.

3. Электрон с энергией Е=9эВ движется на прямоугольный потенциальный барьер высотой U=10эВ и шириной d=0,1нм. Определить коэффициент прозрачности барьера. Представить на графике вид волновой функции электрона.

Решение

Рассмотрим движение электрона вдоль оси x и выделим 3 области (рис 3.6), в которых потенциальная энергия электрона имеет следующие значения:

при - (обл. 1)

при 0 (обл. 2)

при (обл. 3)

Уравнение Шредингера для областей 1 и 3 имеет вид

А для области 2

Пренебрегая отраженными волнами на границах раздела 1-2 и 2-3, решения данных дифференциальных уравнений можно представить в следующем упрощенном виде

, (1)

, (2)

. (3)

Коэффициент Α₁ в выражении (1) связан с интенсивностью пучка частиц, движущихся к барьеру, и принимается, как обычно, равным единице, а значения других коэффициентов с учетом принятых упрощений будут следующими

А₂≈ А₁=1 и А₃≈А₂e^-kd . (4)

Коэффициент А₃ представляет амплитуду волновой функции, прошедшей через барьер, а отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волны определяет вероятность прохождения частиц через барьер, т.е. коэффициент прозрачности

(5)

Подстановка численных значений дает D=0,2.

Вид пси-функций Ψ₁(x), Ψ₂(x), Ψ₃(x) представлен на рис.3.7. Волновая функция частицы всюду непрерывна и гладко переходит из одной области в другую. В области барьера она экспоненциально уменьшается при изменении x от нуля до d. Поскольку волновые числа в области I и III одинаковы, длины волн де Бройля также одинаковы и равны

Р ис. 3.7