Материал: Основы квантовой физики. методические указания к решению задач по дисциплине «Физика» для студентов всех технических направлений. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

10. Приняв, что минимальная энергия Е нуклона в ядре равна 10МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры ядра. [ = = 2,910^-15 м.]

11. Воспользовавшись соотношением неопределенности, оценить кинетическую энергию нуклона в ядре. Линейные размеры ядра принять равными 5 фм. [3МэВ]

12. Используя соотношение неопределенностей, оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома 0,1 нм. [Е_min = = 15 эВ]

13. Частица массой m находится в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна . При каких значениях кинетической энергии Т относительная неопределённость будет меньше 0,01? [Т>(200 ]

14. Электрон с кинетической энергией Т =10 эВ локализован в области размером = 1,0 мкм. Оценить относительную неопределенность скорости электрона. [ =1,3 10^-4]

15. Можно считать, что электрон в атоме водорода заключен в сферической области вокруг ядра радиусом r =0,05нм. С помощью соотношения неопределенностей оцените кинетическую энергию электрона. [150 эВ]

16. Свободно движущаяся нерелятивистская частица имеет относительную неопределенность кинетической энергии порядка 1,6·10^-4. Оцените, во сколько раз неопределенность координаты такой частицы больше ее дебройлевской длины волны. [210³]

17. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны которого равна 400 нм. Оценить ширину излучаемой спектральной линии. [8,510^-15 м]

18. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны которого равна 600 нм. Оценить относительную ширину излучаемой спектральной линии. [310^-8]

19. Используя соотношение неопределённостей, оценить ширину энергетического уровня в атоме водорода, находящегося: а) в основном состоянии; б) в возбужденном состоянии. Время жизни атома в возбужденном состоянии равно 10^-8 с.[а) 0; б) 0,1 мкэВ]

20. Чему равна предельная резкость спектральной линии с длиной волны  =500 нм допускаемая принципом неопределённостей, если считать, что средняя продолжительность возбуждённого состояния атомов t=10^-8c. [ 2,6  10^-8]

21. Атом испустил фотон с длиной волны  =600 нм за время ~10^-8с. Определить относительную неопределенность его длины волны .[310^-8]

3. Уравнение шредингера

3.1. Частица в одномерной потенциальной яме Основные формулы

Одномерное временное, уравнение Шредингера

где i - мнимая единица (i= ); m -масса частицы; (x,t) - волновая функция, описывающая состояние частицы; U(x,t) – характеристика силового поля, в котором находится частица.

Стандартные условия, которым должна удовлетворять волновая функция: конечность (во всем пространстве), однозначность, непрерывность самой  - функции и ее первой производной.

Волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы,

где А - амплитуда волны де Бройля; р - импульс частицы; Е - энергия частицы,

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

,

г

Рис.3.1 Рис.3.2

Вероятность Р обнаружить частицу в интервале от x₁ до х₂ находится интегрированием dP в указанных пределах:

где | (х)|² - плотность вероятности.

Условие нормировки волновой функции .

Собственное значение энергии Е_п частицы, находящейся на n-м энергетическом уровне в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме,

(n = 1,2,3,..),

где d - ширина потенциальной ямы. Соответствующая энергии собственная волновая функция имеет вид

Примеры решения задач

Задача 1. Электрон находиться в бесконечно глубокой одномерной яме шириной d. Вычислить вероятность обнаружения электрона на первом энергетическом уровне в интервале d/4, равноудалённом от стенок ямы.

Решение

В

1)

где (x) - нормированная собственная волновая функция, отвечаю­щая данному состоянию.

Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальной яме, имеет вид

Невозбуждённому состоянию (n=1) отвечает волновая функция

(2)

Подставив ₁(x ) в подынтегральное выражение формулы (1) и вынося постоянные её за знак интеграла, получим

.

Пределы интегрирования определим из условия равноудаленности интервала d/4 от стенок ямы (рис.3.1). Тогда

Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий

1. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид: .Найти решение уравнения. [ ]

2. Электрону в потенциальном ящике шириной d отвечает волновой вектор (где n = 1,2,3...). Используя связь энергии электрона Е с волновым вектором k, получить выражение для собственных значений энергии E_n. [ ]

3. Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенциальном ящике, имеет вид . Используя условия нормировки, определить постоянную С. [ ]

4. В потенциальной яме бесконечной глубины движется электрон. Во сколько раз изменится минимальное значение кинетической энергии электрона, если ширина потенциальной ямы уменьшится вдвое? [увеличится в 4 раза]

5. Электрон находится в потенциальном ящике шириной d=0,5нм. Определить наименьшую разность Е энергетических уровней электрона. [4,48 эВ]

6. Вычислить энергию, которая необходима, чтобы перевести частицу, находящуюся в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной d=0,lнм, с первого энергетического уровня на второй. Задачу решить для электрона и для частицы с массой 10г. [112,5эВ; 10,2710^-20 эВ].

3.2. Прохождение частицы через потенциальный барьер о Рис.4.1 сновные формулы

Коэффициенты преломления n, отражения R и пропускания D волн де Бройля для низкого потенциального барьера (U<E) бесконечной ширины

,

,

где ₁ и ₂ - длины волн, де Бройля в областях 1 и 2 (частица движется из области 1 в область 2); k₁ и k₂ - соответствующие значения волновых чисел.

Коэффициент отражения для высокого (U>E) потенциального барьера бесконечной ширины

.

Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера конечной ширины

,

где U - высота потенциального барьера; Е-энергия частицы; m - масса частицы; d-ширина барьера.

Примеры решения задач

Задача 1.

Решение

Направим ось Ox в направлении движения частицы (рис. 3.2) будем считать, что потенциальная энергия определяется условиям U=0, если x<0 (область 1); U=U₀, если x>0 (область 2). Стационарные уравнения Шредингера, описывающие движения частиц в соответствующих областях, будут иметь следующий вид:

, (1)

. (2)

Введя обозначения

,

получим

, (3)