Материал: Основы квантовой физики. методические указания к решению задач по дисциплине «Физика» для студентов всех технических направлений. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

Из формулы длины волны де Бройля

. (4)

Получим выражение для скорости электро­на

. (5)

Подстановка в последнее равенство длины волны де Бройля по формуле (3) дает

. (6)

Подставив в формулу (6) значения h,d, и m (масса электрона) и произведя вычисления, найдём = 2,1 Мм/с.

Задачи для самостоятельного решения

1. Какую кинетическую энергии необходимо сообщить протону, чтобы его дебройлевская длина волны стала равной: а) 1 Å, б) комптоновской длине волны? [0,082 эВ; 382 МэВ]

2. Определить длины волн де Бройля α-частицы и протона, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов U=1 кВ. [032 пм, 0,9 пм]

3. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U=200В, имеет длину волны де Бройля =2пм. Найти массу частицы, если ее заряд численно равен заряду электрона. [1,7 кг]

4. Найти кинетическую энергию, при которой дебройлевская длина волны электрона равна его комптоновской длине волны? [ = 0,21 МэВ]

5. Скорость тепловых нейтронов, средняя кинетическая энер­гия которых близка к средней энергии атомов газа при комнатной температуре, равна 2,5 км/с. Найти длину волны де Бройля для таких нейтронов. [ = 160 пм]

6. Насколько нужно увеличить кинетическую энергию Т нерелятивистской частицы, чтобы дебройлевская длина волны уменьшилась вдвое? Вычислите это изменение для нерелятивистского электрона, имеющего =1 Å. [ эВ]

7. Какую энергию необходимо сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 100 пм до 50 пм? [Т = 0,45 кэВ]

8. При увеличении энергии электрона на =200эВ его дебройлевская длина волны изменилась в n=2 раза. Найти первоначальную длину волны электрона. [0,15 нм]

9. Протон обладает кинетической энергией Т=1кэВ. Определить дополнительную энергию , которую необходимо ему сообщить для того, чтобы длина волны де Бройля уменьшилась в три раза.[8кэВ]

10. Найти длину волны де Бройля для электрона, движущегося со скоростью равной . Учесть зависимость массы от скорости. [1,82 пм]

11. Параллельный пучок электронов нормально падает на щель, ширина которой равна b=0,06мм. Определить скорость этих электронов, если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии L=40мм, ширина центрального дифракционного максимума мкм. [1Мм/c ]

12. Параллельный пучок электронов нормально падает на щель, ширина которой равна b=0,10мм. На экране, отстоящем от щели на расстоянии L=0,5м, ширина центрального дифракционного максимума мкм. Определить какую ускоряющую разность потенциалов прошли электроны. [1,5 В]

13. Пучок летящих параллельно друг другу электронов, имеющих скорость = 1,010⁶ м/с, проходит через щель шириной b = 0,1мм. Найти ширину центрального дифракционного максимума, на­блюдаемого на экране, отстоящем от щели на расстоянии L = 10,0 см. [ =1,5мкм]

14. Пучок электронов падает нормально на поверхность моно­кристалла никеля. В направлении, составляющем угол 55° с нормалью к поверхности, наблюдается максимум отражения четвёртого порядка при скорости электронов =810⁶м/с. Пренебрегая преломлением электронных волн в кристалле, вычислите межплоскостное расстояние, соответствующее данному отраженно. [d = 2,1 Å ]

15. Фотоэффект вызывается фотонами с длиной волны λ = 0,3 нм. Работа выхода с поверхности данного металла равна 2,5 эВ. Какую минимальную длину волны де Бройля имеют фотоэлектроны? [19 пм]

2.2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга Теоретический материал

Соотношение неопределенностей:

а) для координаты и импульса частицы

,

где р_х - неопределенность проекции импульса частицы на ось х; х - неопределённость её координаты;

б) для энергии и времени:

,

где - неопределённость энергии данного квантового состояния; - время пребывания системы в этом состоянии.

Примеры решения задач

Задача 1. Используя соотношение неопределённостей , найти вы­ражение, позволяющее оценить минимальную энергию Е электрона, находящегося в одномерном потенциальной ящике шириной .

Решение

Из данного соотношения следует, что, чем точнее определяется положение частицы, тем более неопределенным становится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Неопределенность координаты электрона х = . Тогда соотношение неопределенностей можно записать в виде , откуда .

Неопределенность импульса не должна превышать значения самого импульса р, то есть .

Энергия Е электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике, есть его кинетическая энергия Т, величину которой можно связать с импульсом соотношением:

E = .

Заменив p значением р (такая замена не увеличит энергии части­цы Е), получим: .

Задача 2. Среднее время жизни возбужденных состояний атома составляет 12 нс. Вычислить минимальную неопределенность длины волны мкм излучения, при переходе атома в основное состояние.

Решение.

Энергия излучаемого фотона

.

Продифференцируем Е по :

, или .

Из соотношения неопределенностей Гейзенберга для энергии и времени выразим : , здесь и - неопределенности времени и энергии.

Приравняем выражения для

,

Откуда

;

Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий

1. Исходя из того, что радиус атома водорода имеет значение порядка 0,1 нм, оцените скорость движения его электрона. [1 Мм/с]

2. Электрон с кинетической энергией Т=15эВ находится в металлической пылинке диаметром d=1мкм. Оценить относительную неточность / , с которой может быть определена скорость электрона. [ / = 10^-4 ]

3. Электрон локализован в области с линейным размером 1,0мкм. Среднее значение его кинетической энергии 4,0эВ. Оценить с помощью соотношения Гейзенберга неопределенность его кинетической энергии. [~10^-22Дж ]

4. Во сколько раз дебройлевская длина волны частицы меньше неопре­деленности её координаты, которая соответствует относительной неопределенности импульса в 1%? [в 16 раз]

5. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся части­цы равна дебройлевской длине волны, определить относительную неточ­ность р/р импульса этой частицы. [ р/р=0,16]

6. Оценить наименьшие погрешности, с которыми можно определить скорость электрона и протона, локализованных в области размером 1мкм. [ =200м/c; =0,1м/с]

7. Положение свободного электрона определено с точностью до 1мкм. Чему равна неопределенность в его скорости? [100 м/с]

8. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину одномерного потенциального ящика, в котором минимальная энергия электрона 10эВ. [0,12 нм]

9. Альфа-частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину ящика, сли известно, что минимальная энергия частицы 8МэВ. [610^-15м]