Материал: Основы математического моделирования. курс лекций. Перова А.В

формально описывать действие системы в целом через действия отдельных её элементов, образующих структуру системы.

Классификацию систем можно осуществить по разным критериям. Её часто жестко невозможно проводить и она зависит от цели и ресурсов. Приведем основные способы классификации (возможны и другие критерии классификации систем).

1.По отношению системы к окружающей среде:

o открытые (есть обмен с окружающей средой ресурсами);

o закрытые (нет обмена ресурсами с окружающей средой).

2. По происхождению системы (элементов, связей,

подсистем):

o искусственные (орудия, механизмы, машины, автоматы, роботы и т.д.);

o естественные (живые, неживые, экологические, социальные и т.д.);

o виртуальные (воображаемые и, хотя они в действительности реально не существующие, но функционирующие так же, как и в случае, если бы они реально существовали);

o смешанные (экономические, биотехнические, организационные и т.д.).

3.По описанию переменных системы:

o с качественными переменными (имеющие только лишь содержательное описание);

o с количественными переменными (имеющие дискретно или непрерывно описываемые количественным образом переменные);

o смешанного (количественно - качественное) описания. 4. По типу описания закона (законов) функционирова-

ния системы:

o типа “Черный ящик” (неизвестен полностью закон функционирования системы; известны только входные и выходные сообщения системы);

55

o не параметризованные (закон не описан, описываем с помощью хотя бы неизвестных параметров, известны лишь некоторые априорные свойства закона);

o параметризованные (закон известен с точностью до параметров и его возможно отнести к некоторому классу зависимостей);

o типа “Белый (прозрачный) ящик” (полностью известен закон).

5.По способу управления системой (в системе):

o управляемые извне системы (без обратной связи, регу-

лируемые, управляемые структурно, информационно или функционально);

o управляемые изнутри (самоуправляемые или саморегулируемые - программно управляемые, регулируемые автоматически, адаптируемые - приспосабливаемые с помощью управляемых изменений состояний и самоорганизующиеся - изменяющие во времени и в пространстве свою структуру наиболее оптимально, упорядочивающие свою структуру под воздействием внутренних и внешних факторов);

o с комбинированным управлением (автоматические, по-

луавтоматические, автоматизированные, организационные). Под регулированием понимается коррекция управляю-

щих параметров по наблюдениям за траекторией поведения системы - с целью возвращения системы в нужное состояние (на нужную траекторию поведения системы; при этом под траекторией системы понимается последовательность принимаемых при функционировании системы состояний системы, которые рассматриваются как некоторые точки во множестве состояний системы).

Система называется большой, если ее исследование или моделирование затруднено из-за большой размерности, т.е. множество состояний системы S имеет большую размерность. Какую же размерность нужно считать большой? Об этом мы можем судить только для конкретной проблемы (системы), конкретной цели исследуемой проблемы и конкретных ресурсов.

56

Большая система сводится к системе меньшей размерности использованием более мощных вычислительных средств (или ресурсов) либо разбиением задачи на ряд задач меньшей размерности (если это возможно).

Система называется сложной, если в ней не хватает ресурсов (главным образом, - информационных) для эффективного описания (состояний, законов функционирования) и управления системой - определения, описания управляющих параметров или для принятия решений в таких системах (в таких системах всегда должна быть подсистема принятия решения). Сложность системы может быть внешней и внутренней.

Внутренняя сложность определяется сложностью множества внутренних состояний, потенциально оцениваемых по проявлениям системы, сложностью управления в системе.

Внешняя сложность определяется сложностью взаимоотношений с окружающей средой, сложностью управления системой потенциально оцениваемых по обратным связям системы и среды.

Сложные системы бывают:

сложности структурной или статической (не хва-

тает ресурсов для построения, описания, управления структурой);

динамической или временной (не хватает ресурсов для описания динамики поведения системы и управления ее траекторией);

информационной или информационно - логической,

инфологической (не хватает ресурсов для информационного, информационно-логического описания системы);

вычислительной или реализации, исследования (не хватает ресурсов для эффективного прогноза, расчетов параметров системы или их проведение затруднено нехваткой ресурсов);

алгоритмической или конструктивной (не хватает ресурсов для описания алгоритма функционирования или управления системой, для функционального описа-

57

ния системы);

развития или эволюции, самоорганизации (не хватает ресурсов для устойчивого развития, самоорганизации).

Чем сложнее рассматриваемая система, тем более разнообразные и более сложные внутренние информационные процессы приходится актуализировать для того, чтобы была достигнута цель системы, т.е. система функционировала или развивалась как система.

Структурная сложность системы оказывает влияние на динамическую, вычислительную сложность. Изменение динамической сложности может привести к изменениям структурной сложности, хотя это не является обязательным условием. При этом сложной системой может быть и система, не являющаяся большой системой; существенным при этом может стать связность (сила связности) элементов и подсистем системы (см. вышеприведённый пример с матрицей системы линейных алгебраических уравнений).

Само понятие сложности системы не является чем-то универсальным, неименным и может меняться динамически, от состояния к состоянию. При этом и слабые связи, взаимоотношения подсистем могут повышать сложность системы.

Уменьшив сложность системы можно часто увеличить её информативность, исследуемость.

Система называется устойчивой, если она сохраняет тенденцию стремления к тому состоянию, которая наиболее соответствует целям системы, целям сохранения качества без изменения структуры или не приводящим к сильным изменениям структуры системы на некотором заданном множестве ресурсов (например, на временном интервале). Понятие “сильное изменение” каждый раз должно быть конкретизировано, детерминировано.

Система называется связной, если любые две подсистемы обмениваются ресурсом, т.е. между ними есть некоторые ресурсоориентированные отношения, связи.

58

ЛЕКЦИЯ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ

Постановка задачи линейного программирования

Задача линейного программирования (ЗЛП) заключается в определении максимального или минимального значения линейной функции при линейных ограничениях. В общем виде ЗЛП может быть записана следующим образом [3]:

n

F cj xj max (min);

j 1

n

aij xj ( , )bi ,i 1,m;

j 1

xk 0,k 1,s,s n.

Стандартной (или симметричной) ЗЛП называется cледующая задача:

n

F cj xj max (min);

xj 0, j 1,n.

Для разработки вычислительных методов в качестве стандарта принята каноническая форма записи ЗЛП:

n

F cj xj min;

j 1

n

aij xj bi ,i 1,m;

j 1

xj 0, j 1,n.

Каноническая форма ЗЛП характеризуется следующими условиями:

1. Целевая функция подлежит минимизации.

59