Материал: Панков Пособие по АСП

Среднее время пребывания заявки в системе массового обслуживания и в очереди находится по формулам:

TQS LQ Q ,

TQ LQ .

Пример. Магазин посещает в среднем 90 человек в час. Имеющийся один кассир обслуживает в среднем одного покупателя в минуту. Очередь в зал обслуживания ограничена 5 покупателями. Оценим эффективность работы системы массового обслуживания.

Мы имеем, что λ = 90 час-1 = 1,5 мин-1, µ = 1 мин-1, ρ = λ / µ = 1,5, m = 5. По формулам из данной подтемы находим р0 и рrej:

prej m 1 p0 1,5 6 p0 0,354,

т.е. 35,4% покупателей получают отказ в обслуживании, что недопустимо много. Среднее число людей, стоящих в очереди, также находим по формуле из данной подтемы:

Среднее время пребывания в очереди равно:

LQ 3,457

TQ 1,5 2,3 мин,

т.е. TQ не очень большое. Увеличение очереди до m = 10 даёт p0 0,0039 и prej 0,0336, т.е. не приводит к заметному уменьшению отказов в

обслуживании. Можем сделать вывод о том, что необходимо добавить ещё одного кассира, либо уменьшить время обслуживания каждого покупателя.

Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Примером такой системы массового обслуживания может служить директор предприятия, вынужденный рано или поздно решать вопросы, относящиеся к его компетенции, или, например, очередь в булочной с одним кассиром. Граф такой системы массового обслуживания изображён на рисунке ниже

В символике Кендалла данная система выглядит как M / M / 1 / ∞ или

M / M / 1.

61

Все характеристики такой системы массового обслуживания можно получить из формул предыдущей подтемы, полагая в них m→∞. При этом необходимо различать два существенно разных случая:

ρ ≥ 1;

ρ < 1.

В первом случае, как это видно из формул для предыдущей подтемы, р0 =0 и pk = 0 (при всех конечных значениях k). Это означает, что при t→∞ очередь неограниченно возрастает, т.е. этот случай практического интереса не представляет.

Рассмотрим случай, когда ρ < 1. Формулы для р0 =0 и pk при примут вид p0 1 ,

pk k 1 ,k .

Поскольку в системе массового обслуживания отсутствует ограничение на длину очереди, то любая заявка может быть обслужена, т.е. относительная пропускная способность равна

Q = pser = 1,

а абсолютная пропускная способность равна

A = λQ = λ (1 –ρm+1p0).

Среднее число заявок в очереди получим из формулы для системы массового обслуживания с ограниченной очередью при m→∞

2

LQ 1 .

Среднее число обслуживаемых заявок есть

m

Lmt 1 p1 1 p1 i 1 p0 ,

i 1

а среднее число заявок, находящихся в системе массового обслуживания, равно математическому ожиданию числа заявок, одновременно находящихся в очереди или в канале обслуживания. Оно представляет собой сумму средней длины очереди и среднего числа занятых каналов обслуживания

Среднее время пребывания заявки в системе массового обслуживания и в очереди определяется формулами Литтла:

Пример. В билетной кассе работает один кассир, обслуживающий в среднем двух покупателей за одну минуту. Каждый час в среднем приходят покупать билеты 90 посетителей. Провести анализ работы системы массового обслуживания.

62

По условию λ = 90 час-1 =1,5 мин-1, µ = 2 мин-1, откуда ρ = λ / µ = 0,75. Найдём p0 для M / M / 1:

p0 1 1 0,75 0,25,

т.е. 25% времени кассир не занимается продажей билетов. Средняя длина очереди равна

а среднее число покупателей, находящихся в системе массового обслуживания (т.е. у кассы), равно

LQS 1 3.

Среднее время нахождения покупателя в системе массового обслуживания найдём по формуле Литтла:

что вполне приемлемо.

Многоканальная СМО с ограниченной очередью

Пусть на вход системы массового обслуживания, имеющей n каналов обслуживания, поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна µ, а максимальное число мест в очереди равно m. Граф такой системы представлен на рисунке:

В символике Кендалла данная система выглядит как M / M / n / m. S0 - все каналы свободны, очереди нет;

Si - заняты i каналов (i 1,n), очереди нет;

Sn+j - заняты все n каналов, в очереди находится j заявок ( j 1,m). Сравнение графов из данной подтемы и подтемы про процессы размножения

и гибели показывает, что данная система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):

g = m+n, S0= S0, Si = Si, i 1,n, Sk = Sn+(k-n), k n 1,n m, λi = λ, µi = (k+1)µ, i 0,n 1, µk = nµ, k n,n m 1.

63