Материал: Панков Пособие по АСП

где p0(t) и p1(t) - вероятности нахождения системы массового обслуживания в состояниях S0 и S1 соответственно. Уравнения для предельных вероятностей p0 и p1 получим, приравнивая нулю производные в первых двух уравнениях системы. В результате получим:

Вероятность p0 по своему смыслу есть вероятность обслуживания заявки pser, т.к. канал является свободным, а вероятность p1 по своему смыслу является вероятностью отказа в обслуживании поступающей в систему массового обслуживания заявки prej, т.к. канал занят обслуживанием предыдущей заявки. Остальные характеристики системы массового обслуживания найдём, рассмотрев конкретный пример.

Пример. Секретарю директора завода поступает в среднем 1,2 телефонных вызовов в минуту. Средняя продолжительность разговора составляет 2 минуты. Найдем основные характеристики системы массового обслуживания и оценим эффективность её работы.

По условию λ = 1,2, 2 = 1/µ, откуда ρ = λ / µ = 2,4. По полученным выше формулам находим pser и prej:

1

pser p0 1 0,294,

prej p1 1 0,706.

Таким образом, обслуживается лишь 29,4% звонков, что нельзя считать удовлетворительным.

Почему p0 Q? В самом деле, p0 есть вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (система находится в состоянии S0, т.е. канал свободен). Всего в единицу времени приходит в среднем заявок и из них обслуживается p0 заявок. Тогда доля обслуживаемых заявок по отношению ко всему потоку заявок определяется величиной, которая и равна относительной пропускной способности

Q p0 p0 .

Абсолютную пропускную способность (или, иначе, среднее число заявок, поступающих в систему массового обслуживания в единицу времени) найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока заявок:

A p0 pser 1 0,353,

56

т.е. в среднем обслуживается 0,35 звонка в минуту. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера система массового обслуживания будет плохо справляться с потоком заявок.

Многоканальная система с отказами (задача Эрланга).

Здесь мы рассмотрим одну из первых по времени, «классических» задач теории массового обслуживания; эта задача возникла из практических нужд телефонии и была решена в 1909 г. датским инженеромматематиком А.К. Эрлангом. Задача ставится так: имеется п каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний каждого канала имеет интенсивность . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система массового обслуживания имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S0, S1..., Sn, где Sk - состояние системы, когда в ней находится к заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний системы массового обслуживания соответствует процессу гибели и размножения с конечным числом состояний (при g=n, λi = λ, µi = (i+1)µ)

В символике Кендалла данная система может быть записана как M / M / n / 0. Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью . Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если система массового обслуживания находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т. е. суммарная интенсивность их потоков обслуживаний будет 2 . Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий системe массового обслуживания из состояния S3 (три канала заняты) в S2, будет иметь

интенсивность 3µ, т.е. может освободиться любой из трех каналов, и т. д.

Для нахождения предельных вероятностей можно воспользоваться формулами для процесса гибели и размножения с конечным числом состояний

из соответствующего раздела, учитывая, что . Тогда

57

k

p p ,k 1,n.

k k! 0

Эти формулы называются формулами Эрланга - основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа системы массового обслуживания есть предельная вероятность того, что все п каналов системы будут заняты, т. е.

Отсюда находим относительную пропускную способность - вероятность того, что заявка будет обслужена:

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок на Q:

Осталось только найти среднее число занятых каналов nb . Эту величину можно было бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями 0,1,..., п и вероятностями этих значений p0 , p1 ,... , pп . Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность A системы есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов

Пример. Найдем оптимальное число телефонных номеров на предприятии, если заявки на переговоры поступают с интенсивностью 1,2 заявки в минуту, а средняя продолжительность разговора по телефону составляет Taverage = 2

минуты. Найдем также вероятность того, что в систему массового обслуживания за 3 минуты поступит: а) точно 2 заявки, б) не более 2-х заявок.

По условию λ = 1,2 мин-1, µ = 1/2 мин-1, откуда ρ = λ / µ = 2,4. Оптимальное число каналов n неизвестно. Используя выведенные выше формулы найдём характеристики системы массового обслуживания при различных значениях n и заполним таблицу:

58

Оптимальным числом телефонных номеров можно считать n = 6, когда выполняется 97,6% заявок. При этом за каждую минуту обслуживается в среднем 1,171 заявки. Для решения 2-го и 3-го пунктов задачи воспользуемся формулой из теоремы Хинчина для пуассоновского процесса:

P 3 2 1,2 3 2 e 1,2 3 0,049 2!

P 3 2 P 3 0 P 3 1 P 3 2 0,175

В данной задаче проглядывает некоторый намек на оптимизацию. В самом деле, содержание каждого канала в единицу времени обходится в какую-то сумму. Вместе с тем, каждая обслуженная заявка приносит какой-то доход (если речь идет о системе массового обслуживания, для которых этот доход можно оценить). Умножая этот доход на среднее число заявок А, обслуживаемых в единицу времени, мы получим средний доход от систем массового обслуживания в единицу времени. Естественно, при увеличении числа каналов этот доход растет, но растут и расходы, связанные с содержанием каналов. Что перевесит - увеличение доходов или расходов? Это зависит от условий операции, т. е. от «платы за обслуживание заявки» и от стоимости содержания канала. Зная эти величины, можно найти оптимальное число каналов, наиболее экономически эффективное.

Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди

Всистеме массового обслуживания с ограниченной очередью число мест m

вочереди ограничено. Следовательно, заявка, поступившая в момент времени, когда все места в очереди заняты, отклоняется и покидает систему массового обслуживания. Граф такой системы массового обслуживания представлен на рисунке:

Всимволике Кендалла данная система выглядит как M / M / 1 / m. Состояния системы массового обслуживания представляются следующим

образом:

S0 - канал обслуживания свободен,

59

S1 - канал обслуживания занят, но очереди нет,

S2 - канал обслуживания занят, в очереди одна заявка,

…

Sk+1 - канал обслуживания занят, в очереди k заявок,

…

Sm+1 - канал обслуживания занят, все т мест в очереди заняты.

Для получения необходимых формул можно воспользоваться тем обстоятельством, что система массового обслуживания на рисунке является частным случаем процесса гибели и размножения с конечным числом состояний, если в последнем принять g = m+1, λi = λ, µi = µ.

Для нахождения предельных вероятностей можно воспользоваться формулами для процесса гибели и размножения с конечным числом состояний

из соответствующего раздела, учитывая, что . Тогда:

i 1

pk k p0,k 1,m 1.

При m=0 (очереди нет) мы получим те же формулы, как и для одноканальной системы массового обслуживания с отказами M / M / 1 / 0, а при ρ = 1 эти же формулы принимают вид

1

p0 pk m 2,k 1,m 1.

Поступившая в систему массового обслуживания заявка получает отказ в обслуживании, если система массового обслуживания находится в состоянии Sm+1, т.е. вероятность отказа в обслуживании заявки равна

prej m 1 p0 .

Относительная пропускная способность системы массового обслуживания

равна

Q = pser = 1 - prej = 1 –ρm+1p0,

а абсолютная пропускная способность равна

A = λQ = λ (1 –ρm+1p0).

Среднее число заявок, стоящих в очереди LQ, находится по определению

m

LQ i p1 i 1 и может быть записано в виде

i 1

При ρ = 1 формула принимают вид:

m m 1

LQ | 1 2 m 2 .

60