Материал: Панков Пособие по АСП

A2

2 2 cos t2 t1 cos t2 cos t1 1

2A2

При t t1 t2 получим DY t 2 2 2cos t

Заметим, что характеристики преобразованного случайного процесса можно найти непосредственно после нахождение аналитической формулы для преобразованного процесса так, как это было сделано при «проверке» в примере о производной процесса радиоактивности выше. Однако, как правило, нахождение вероятностных характеристик, используя соответствующие действия над математическим ожиданием и автоковариационной функцией исходного случайного процесса проще. Так, если бы в последнем примере мы бы нашли интеграл от случайного процесса, а затем его характеристики, то это было бы намного сложнее.

Спектральное разложение стационарного случайного процесса

Сперва рассмотрим случайный процесс

X t mX Uk cos kt Vk sin kt

Предварительно найдем характеристики случайного процесса Xk t , общего члена рассмотренного выше ряда:

Xk t Uk cos kt Vk sin kt

Математическое ожидание этого процесса (гармонического колебания со

равенства нулю его математического ожидания, будет равна, повторяя уже проделанные в примере из подтемы «Стационарные процессы» вычисления:

KXk t1;t2 E Xk t1 Xk t2

E Uk cos kt1 Vk sin kt1 Uk cos kt2 Vk sin kt2

Dk cos k t2 t1 .

16

Теперь рассмотрим характеристики исходного случайного процесса X(t), заданного формулой, которую перепишем в виде:

X t Xk t mX

k 0

Математическое ожидание этого случайного процесса равно:

E X t mX E Xk mX

автокорреляционная функция случайного процесса X(t) равна сумме автокорреляционных функций составляющих:

KX t t1,t2 KXk t t1,t2 Dkcos k ,

k 0 k 0

где t2 t1

Можно сделать вывод о том, что поскольку у X(t) математическое ожидание постоянное, а автокорреляционная функция зависит только отt2 t1 , то этот случайный процесс – стационарный в широком смысле.

Найдем дисперсию этого случайного процесса. По свойствам автокорреляционной функции дисперсия равна значению этой функции при одинаковых значениях аргументов, а значит для стационарного случайного процесса дисперсия равна значению автокорреляционной функции в нуле,

t t 0:

DX t KX t t,t KX t | 0 Dk k 0

Теперь рассмотрим произвольный стационарный (в широком смысле)

k N , а коэффициенты разложения имеют вид:

17

Легко можно показать, что все DK≥0.

Полученное разложение называется спектральным разложением автокорреляционной функции случайного процесса X(t).

В начале раздела мы рассмотрели случайный процесс X(t) с произвольными значениями величин ωk и Dk. Возьмем значения этих величин ωk и Dk по полученным формулам для произвольного стационарного (в широком смысле) случайного процесса X’(t)= X(t). Тогда представление случайного процесса по формуле

X t mX Uk cos kt Vk sin kt

k 0

с соответствующими условиями из начала раздела со значениями для ωk и Dk по

(действительной формой спектрального разложения стационарного случайного процесса).

Можно сказать, что в этом случае происходит разложении исходной случайной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами (подобно тому, как музыкальный аккорд может быть выражен в виде суммы музыкальных звуков, которые его составляют).

Спектр графически изображен на следующем рисунке:

Итак, можно сделать вывод о том, что на интервале (-T,T) мы представили наш случайный процесс в виде суммы гармоник (гармонических колебаний) таких, что дисперсия всего процесса складывается из амплитуд всех гармоник

по формуле DX Dk . Таким образом можно определить, какие участки

k 0

спектра дают наибольший вклад в случайный процесс.

18

Однако, полученные разложения с формулами для ωk и Dk справедливы только на интервале (-T,T).

Напомним из курса математического анализа (высшей математики), что в ряд Фурье можно раскладывать только периодические функции. Поэтому, чтобы использовать ряд Фурье, автокорреляционную функцию на интервале (- T,T) доопределяют на всю числовую ось с периодом 2T. Но вне интервала (- T,T) сумма ряда не равна нашей автокорреляционной функции. Следовательно, необходимо увеличивать значение T.

Ответим на вопрос, что будет при этом меняться? К примеру, увеличим интервал в два раза, получив новое значение T’ = 2T. Тогда, число гармоник удвоится (появятся новые составляющие в спектре, в данном случае посередине между «старыми» составляющими, но уже с другими коэффициентами DK '):

Однако, дисперсия всего процесса также будет равна DX Dk ' Dk

останется той же, не смотря на увеличение числа гармонических составляющих.

Перейдем в представлении

к пределу при Т и используем обозначение

lim Dk S , где k .

0

При переходе к пределу представление KX (интегральная сумма для соответствующей функции на луче 0, ) преобразуется в интеграл:

KX S cos d

0

19

Назовем функцию S из полученного представления спектральной

плотностью стационарного случайного процесса для действительной формы спектрального разложения стационарного случайного процесса. Можно сказать, что для этой плотности автокорреляционная функции является ее косинус – преобразованием Фурье. Используя формулу обращения можно доказать, что

2

S KX cos d

0

Спектральная плотность S представляет собой зависимость дисперсии

случайного процесса от частоты, поэтому ее можно трактовать как количество мощности случайного процесса, приходящуюся на единицу частоты.

DX DX t K 0 S( )d

0

По аналогии с геометрическим смыслом несобственного интеграла перврго рода можно сказать, что дисперсия для стационарного процесса равна площади под графиком спектральной плотности.

При решении ряда прикладных задач проще использовать спектральную плотность в комплексной форме. Для этого доопределим спектральную плотность на отрицательную область значений , так, чтобы функция стала четной, одновременно уменьшив в два раза вся значения этой функции при положительных .

Заметим, что никакого физического смысла отрицательные частоты не имеют. Это просто удобная математическая абстракция.

Определение. Спектральной плотностью (случайного процесса) в

комплексной форме называется функция:

S*( )=1 S( ) при - < 2

20