Документ: Панков Пособие по АСП, страницы 41-45

Если начальное распределение совпадает со стационарным ( pn 0 qn , n 0 ), то распределение в любой момент времени t 0 также будет совпадать со стационарным:

pn t qi pi,n t qn n 0 .

i 0

Таким образом, если начальное распределение равно стационарному, то pn(t) не зависит от t.

Выведем дифференциальное уравнение для pn(t). Будем считать, что 1 0, тогда для всех n 0 можно выписать

pn t t pn 1 t n 1 t o t

pn t 1 n n t o t

pn 1 t n 1 t o t o t .

Тогда

pn t t pn t

p

n 1

t

n

p

n

t

n 1

n

n 1 pn 1 t o 1 .

Переходя к пределу при t 0 получаем:

dpn t

p

t

n

p t

n

1

p

n 1

t .

dt

n 1 n 1

n

pn 0 ,n 0 . Найдем

Итак, пусть дано начальное распределение

стационарное распределение.

pn(t) qn , при всех t 0, то

Если распределение qn ,

n 0 - стационарное, и

dpn t

0.

dt

При n 0 получаем, что 0

0 p0 t 1p1 t 0. Поскольку

pn t qn и

0 0, то 0q0 1q1 0.

1

1 q1 2q2

0 и так далее.

При n 1 получаем 0q0

Получаем бесконечную систему линейных уравнений для отыскания стационарного распределения. Она легко решается последовательно: из

уравнения при n 0 получаем q1				0 / 1 q0 , подставляя его в уравнение при
n 1 получаем уравнение
0q0 1 1 0 / 1 q0 2q2 0,
из которого следует, что q		0 1		q и т.д.

2			2	0
	1

41

Методом математической индукции можно доказать, что qn 0 1 n 1 q0

1 2 n

для всех n . Так как qn 1, то

i 0

0 1 i 1

q0 1

1.

1 2 i

i 1

0 1 i 1

Если ряд

сходится,

то получаем, что стационарное

i 1

1 2 i

распределение процесса размножения и гибели имеет вид

q0

1

,

1

0 1 i 1

1 2 i

i 1

qn

0 1 n 1

1

для всех n .

0 1 i 1

1 2 n

1

i 1

1 2 i

Отметим, что в некоторых прикладных дисциплинах (к примеру, в теории массового обслуживания) под процессами размножения и гибели понимают и консервативные цепи Маркова процессы с конечным числом состояний (N=g), аналог графа переходов для которых выглядит следующим образом:

Здесь вершины Si i - это значения принимаемые сечениями случайного процесса, стрелки обозначают ненулевые вероятности переходов за малый промежуток времени (нагружены они интенсивностями переходов), а в силу консервативности интенсивности переходов из i-ого состояния в i-ое не отмечены вовсе.

Стационарное распределение для подобного процесса размножения и гибели q q0,q1,q2,...,qg в этом случае определяют и ищут аналогично

вышерассмотренному случаю. Отметим, что в этом случае стационарное распределение является предельным (это понятие определяется аналогично понятию из раздела о дискретных цепях Маркова):

	q0					1	,
	q0	g		0 1 i 1			,
	1			0 1 i 1
	1			0 2 i 1
	0 1 i 1	i 1		0 2 i 1
q			q			для всех i			.
					0			1,g
								1,g
i	0 2 i 1

42

Тема № 4 Пуассоновский и винеровский процесс

Рассмотрим процесс t ,t T , который состоит из случайных величин,

принимающих значения из 0 , т.е. 0,1,2,.... Эти значения можно интерпретировать как количество наступлений некоторых (одинаковых) событий. Потоком событий в прикладной теории случайных процессов называют последовательность событий, наступающих одно за другим в какието, вообще говоря, случайные моменты времени.

Определение. Случайный процесс				t ,t T с		непрерывным			временем
T [0; ) называется	пуассоновским			процессом,		если		он удовлетворяет
следующим условиям:
1). 0 0.
2). t ,t [0; ) –	процесс	с независимыми приращениями.
3). Для любых t1 t2	и любого s		приращения t		2	t , t		s t s	одинаково
распределены (условие однородности во времени).					2	1	2	1
распределены (условие однородности во времени).
4). (Условие ординарности). При h 0 выполняется
P t h t 1 h o(h),		при	любом t [0; )				фиксированном ,

0 ;

P t h t 2 o h .

Ординарность случайного процесса можно интерпретировать таким образом, что события в некотором потоке за достаточно малый промежуток времени либо не наступают, либо наступают по одному, а не по несколько.

		P t h t	1
Величина	lim			0 является	параметром пуассоновского
		h
	h 0
процесса, и иногда называется интенсивностью или средней плотностью.
Теорема	(Хинчина). Если		t ,t [0; )		- пуассоновский процесс с

параметром 0, то для всех t 0 имеет место равенство

P t k t k e t k!

для всех k 0 , т.е. случайная величина t имеет распределение Пуассона с параметром t.

Доказательство. Применим метод характеристических функций.

Пусть		t	Eei t	– характеристическая		функция случайной
t		t
величины t .	t h t h t t 0				(где 0 0) и
Так как	t h t h t t 0				(где 0 0) и	выполнено условие

независимости приращений пуассоновского процесса, то с использованием теоремы о характеристической функции суммы независимых случайных величин получаем:

t h Eei t h t i t 0 Eei t h t Eei t 0 t Eei t h t

43

уд

ае

тс

я

Не

t Eei h h t .

Это выполняется потому, что по условию однородности во времени величина t h t распределена так же, как и h 0 0 h .

Исследуем

поведение

функции

h

при

h 0.

По

условию

ординарности:

P h n ei n

P h n P h 2 o h ,

поэтому

n 2

h P h n ei n P 0 0 P h 1 ei

n 0

o h 1 h hei

o h .

Следовательно,

t h t

t ei o 1 .

h

Если перейти

к

пределу

при h 0, то

получим, что верно

равенство

t

ei .

t

y t t ,

a ei

Обозначим

и

получим дифференциальное

уравнение

dy t

a y t , решение,

которого записывается в виде

y(t) c eta

dt

(докажите это самостоятельно)

c y(0).

0 0,

Постоянную

с

определяем

из

условия

Так

как

то

0( ) Eei 0 1. Следовательно,

y(0) 1 и c 1.

Значит

y t eta

и t ( ) et ei

e t ei 1 . Получившаяся функция –

это

характеристическая функция распределения Пуассона с параметром t. Отсюда по теореме единственности получаем, что - случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром t.

Теорема доказана. Утверждение. Пуассоновский процесс является цепью Маркова с

непрерывным временем.

Доказательство. Докажем, что для пуассоновского процесса выполняется определение цепи Маркова:

P

k

k , , k

tn 1

n

1

t1

1

tn

n

P tn 1

kn 1, tn

kn, , t1

k1

P tn 1 tn

P tn

kn, , t1 k1

k1

kn 1 kn, tn

tn 1

kn

kn 1,..., t2

t1 k2 k1, t1

P tn

tn 1 kn

kn 1,..., t2 t1

k2

k1, t1

k1

44

P tn 1 tn	kn 1 kn, tn	tn 1 kn kn 1,..., t1 0	k1
				.
P tn tn 1 kn		kn 1,..., t1 0 k1		.
P tn tn 1 kn		kn 1,..., t1 0 k1

Вследствие независимости приращений это отношение равно:

P tn 1 tn kn 1 kn P tn tn 1 kn kn 1 P t1 t0 k1 P tn tn 1 kn kn 1 P t1 t0 k1

P tn 1

tn

kn 1 kn .

Теперь рассмотрим

P tn 1 kn 1

tn kn

P tn 1 kn 1, tn

kn

P tn 1 tn

kn 1

kn, tn 0

kn

P tn kn

P tn

0 kn

P tn 1

tn kn 1 kn P tn

0 kn

P tn 1

tn

kn 1 kn .

P tn 0 kn

tn ,n для

Таким образом, определение цепи Маркова

для

произвольного набора моментов времени 0 t1

t2 ... tn ... выполнено .

Утверждение доказано.

Найдём распределение		случайной величины τ1 - времени до первого
появления события	в	пуасоновского процессе x,x 0, .			По
определению, F1 x P 1		x .
Событие { τ1 < x}	означает, что на отрезке [0;x] произошло хотя бы один
раз интересующее нас событие, что можно записать в виде			x	1		x
				, так как

– число появлений события на отрезке [0;x]. Поэтому

P 1 x P x 1 1 P x 0 1 e x ,

так как случайная величина ξx распределена по закону Пуассона с параметром

λx.

Следовательно, случайная величина τ1 имеет показательное распределение с параметром (т.к. ее функция распределения равна 1 e x ).

В теории массового обслуживания и в некоторых других практических областях вместо понятия пуассоновского процесса используется термин

пуассоновский поток. Иногда употребляется термин простейший поток событий.

Пуассоновский процесс можно интерпретировать как процесс появления некоторого события (поток событий) в моменты времени t T 0, . Тогда

ξt - число появлений этого события до момента времени t. Траектория пуассоновского процесса является ступенчатой функцией с разрывами первого рода.

В силу рассуждений для τ1 и в силу однородности во времени делаем вывод, что в пуассоновском потоке интервалы времени между появлениями событий имеют показательное распределение.

45

Материал: Панков Пособие по АСП

Смотрите также: