Материал: Панков Пособие по АСП

Поток событий называется потоком с ограниченным последействием, если случайные величины T1,T2,...,Tn..., представляющие собой интервалы времени между соответственно 1-м и 2-м, 2-м и 3-м и т.д., n-м и (п+ 1)-м событиями и т.д., независимы.

Поток событий называется стационарным, если вероятность наступления того или иного числа событий за какой-либо промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от момента его начала. Стационарность потока означает, что его вероятностные характеристики не зависят от времени, т.е. не изменяются с течением времени.

Стационарный поток с ограниченным последействием называется потоком Пальма.

У потока Пальма случайные величины T1,T2,...,Tn... имеют один и тот же закон распределения (имеют одну и ту же функцию распределения). Пуассоновский процесс является потоком Пальма, поскольку он стационарен, случайные величины T1,T2,...,Tn...распределены по показательному закону (докажите это) и независимы в силу независимости приращений.

Важными специальными случаями потока Пальма являются потоки Эрланга. Потоком Эрланга k-го порядка с параметром 0 называется поток, получающийся из пуассоновского с интенсивностью 0 сохранением в нем

каждого k-то события.

Например, поток Эрланга 1-го порядка совпадает с исходным пуассоновским потоком и, следовательно, пуассоновский поток является потоком Эрланга 1-го порядка.

Для случайной величины Tk - промежутку времени между двумя соседними

событиями в потоке Эрланга k-го порядка, порожденном Пуассоновским процессом с интенсивностью 0 можно найти плотность:

а также функцию распределения

Пользуясь методами теории вероятностей можно доказать, что распределение Эрланга k-го порядка есть распределение суммы k независимых в совокупности, экспоненциально распределенных случайных величин с одним и тем же параметром . Следовательно,

46

Интенсивность потока Эрланга k-го порядка совпадает с математическим ожиданием Tk .

Отметим, что обобщением пуассоновского процесса является нестационарный пуассоновский процесс или поток, для которого выполняется условие независимости приращений, 0 0, и ординарности, но вместе с тем

интенсивность t limP t h t 1 зависит от t [0; ).

h 0 h

Если для нестационарного пуассоновского потока с интенсивностью t ,

некоторый рассмотреть промежуток времени длиной 0, начинающийся с момента t0 и дискретную случайную величину X t0, — число событий,

наступающих в потоке за промежуток времени t0,t0 , то выполняется свойство, что X t0, имеет распределение Пуассона с параметром, равным

распределены.

4). При h 0 для моментов случайных величин h выполняются следующие свойства:

E h ah o h ,

E h2 bh o h ,

В отличие от пуассоновского процесса, винеровский имеет непрерывную траекторию.

47

Винеровский процесс служит математической моделью одномерного броуновского движения и часто называется процессом броуновского движения.

В случае a 0 и b 1 винеровский процесс называется стандартным винеровским процессом.

Функционалы винеровского процесса

Рассмотрим траекторию стандартного винеровского процесса t ,t 0, и

зафиксируем некоторое вещественное число a.

Пусть a - момент первого достижения уровня a траекторией случайного винеровского процесса.

Величина a является случайной величиной.

Фиксируем некоторое вещественное T 0. Рассмотрим выражение

P T a| a T P T a| a T P T a| a T 1

Утверждается, что

P T a| a T P T a| a T .

Если сформулировать нестрого, то число траекторий, входящих в левую часть, совпадает с числом траекторий, входящих в правую (т.е. происходит «отражение»). Каждой траектории мы сопоставляем отражённую траекторию.

Для винеровского процесса, обладающего непрерывной траекторией, выполняется равенство P T a| a T 0. Следовательно,

P T a| a T P T a| a T 1/ 2.

Данное выражение есть принцип отражения.

В силу непрерывности траекторий винеровского процесса верно следующее включение: T a a T . Следовательно,

48