Материал: Полярная система координат. Параметрически заданные кривые. Приложения определенного интеграла. Каверина В.К., Некрасова Н.Н

что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, а левая ‒ между центром и левой вершиной гиперболы.

Директрисы гиперболы имеют то же свойство, что и директрисы эллипса: отношение рас-

стояний любой точки гиперболы до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная .

3.3.4. Различные виды гиперболы

Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны а b . Ее каноническое уравнение имеет вид:

x2 y2 а2 .

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения: y x и y x .

Y

B2(0,b)

B1(0,-b)

56

Кривая, определяемая уравнением

y2 x2 1

b2 а2

также является гиперболой, действительная ось которой 2b расположена на оси ординат, а мни-

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

3.7. Составить каноническое уравнение гиперболы, найти координаты фокусов. Изобразить кривую, если:

а) его полуоси соответственно равны 4 и 3; б) расстояние между фокусами равно 14, а расстояние между вершинами 12;

в) действительная полуось равна 5, эксцентриситет равен 1,4; г) расстояние между фокусами равно 16 и эксцентриситет равен 4/3;

д) действительная полуось равна 15 и гипербола проходит через точку (5, 2) ; е) гипербола проходит через точки М (2 7, 3) и N ( 7, 6 32) .

3.8. Составить каноническое уравнение гиперболы. Изобразить кривую, если:

а) гипербола проходит через точку (10, 3 3) , асимптоты заданы уравнениями y 53 x ;

б) расстояние между фокусами равно 10, асимптоты заданы уравнениями y 12 x .

3.9. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением:

а) 25x2 144 y2 3600 ; б) 16 y2 9x2 144 .

3.10. Составить уравнение линии, каждая точка M (x, y) которой отстоит от точки F(4,0) на расстоянии вдвое большем, чем до прямой x= 1.

3.4.Парабола

3.4.1.Каноническое уравнение гиперболы

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается p

( p 0 ).

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат так, чтобы ось OX проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 3.8). В выбранной

57

2

Рис. 3.8. Геометрическое построение к выводу уравнения параболы

Пусть M (x, y) – произвольная точка парабола. Соединим точку M и F. Проведем отрезок

Следовательно,

Уравнение (3.10) – каноническое уравнение параболы (рис. 3.9).

3.4.2.Исследование формы параболы

1.В уравнение (3.10) переменная входит в четной степени, значит, параболы симметрично относительно оси ОХ; ось ОХ является осью симметрии параболы.

2.Так как p 0 , то из уравнения (3.10) следует, что x 0 . Следовательно, параболы расположена справа от оси OY.

3.Очевидно, что парабола проходит через начало координат. Точка O называется верши-

ной параболы, отрезок FM = r называется фокальным радиусом точки M.

4.При неограниченном возрастании x модуль y также неограниченно возрастает.

58

Уравнения вида y2 2 px , x2 2 py , x2 2 py ( p 0 ) также определяют параболы, они изображены на рис. 3.10.

Y

Y

Y

y p / 2

0

X

F(0,-p/2)

Рис. 3.10. Виды различной ориентации параболы

59

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

3.11. Составить уравнение параболы, построить ее, если:

а) парабола симметрична относительно оси ОХ, вершина лежит в начале координат и расстояние от фокуса до вершины равно 4;

б) парабола симметрична относительно оси ОХ, вершина лежит в начале координат и проходит через точку (2,-4);

в) парабола симметрична относительно оси ОХ, вершина лежит в начале координат и проходит через точку (-2,4);

г) парабола симметрична относительно оси ОY, вершина лежит в начале координат и фокус лежит в точке (0,3);

д) парабола симметрична относительно оси ОY, вершина лежит в начале координат и проходит через точку (4,2);

е) парабола симметрична относительно оси ОY, вершина лежит в начале координат и проходит через точку (-4, -2).

3.12. Составить уравнение линии, каждая точка M (x, y) которой одинаково удалена от начала координат и от прямой x= -4.

3.5. Кривые второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям

Уравнение эллипса с центром в точке O1(x0 , y0 ) , оси симметрии которого параллельны координатным осям OX и OY, а полуоси соответственно равны а и b, имеет вид (рис. 3.11 а)

60