Материал: Полярная система координат. Параметрически заданные кривые. Приложения определенного интеграла. Каверина В.К., Некрасова Н.Н
Уравнения вида
( y y )2 |
2 p(x x ) , |
( y y )2 2 p(x x ) , |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
(x x )2 |
2 p( y y ) , |
(x x )2 |
2 p( y y ) , |
(3.13) |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
где p 0 , определяют параболы с вершиной в точке O1(x0 , y0 ) , они изображены на рис. 3.12.
Y Y
y0
O
Y
y0
O
O1
x0 |
X |
( y y )2 |
2 p(x x ) |
0 |
0 |
O1 |
|
x0 |
X |
(x x )2 |
2 p( y y ) |
0 |
0 |
y0
O
Y
O
y0
O1
|
x0 |
X |
|
|
|
( y y )2 |
2 p(x x ) |
|
0 |
0 |
|
x0 X
O1
(x x0 )2 2 p( y y0 )
Рис. 3.12. Графики парабол, соответствующих уравнениям (3.13)
61
Уравнения (3.11), (3.12), (3.13) после преобразования (раскрыть скобки, привести подобные, ввести новые обозначения коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида
Ax2 Cy2 2Dx 2Ey F 0 , |
(3.14) |
где А и С не равны нулю одновременно.
Возникает вопрос: всякое ли уравнение (3.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая теорема.
Теорема. Уравнение (3.14) всегда определяет: либо окружность при А = С; либо эллипс при А С 0 ; либо гиперболу при А С 0 ; либо параболу при А С 0 . При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эллипс (окружность); для гиперболы – в пару пересекающихся прямых; для параболы – в пару параллельных прямых.
Пример 3.1. Определить вид кривой, привести уравнение к каноническому виду, изобра-
зить кривую: 2x2 5y2 12x 10 y 13 0. |
|
|
|
||||||
Решение. Так как А С 2 5 0 , |
то данное уравнение определяет эллипс. Выделяя пол- |
||||||||
ные квадраты и приведя подобные, уравнение можно привести к виду: |
|||||||||
2(x2 6x 9) 5( y2 2y 1) 18 5 13 0 |
|||||||||
|
2(x 3)2 5( y 1)2 |
36 , |
|||||||
|
|
2(x 3)2 |
5( y 1)2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
36 |
36 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получим уравнение эллипса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 3)2 |
( y 1)2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
18 |
|
7,2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
с центром в точке (3,-1) и полуосями а |
|
18 , b |
7,2 . Сделаем чертеж (рис. 3.13). |
||||||
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
X |
-1 |
|
|
|
O1 |
|
|
|
||
Рис. 3.13. Геометрическое построение к примеру 3.1
62
Пример 3.2. Определить вид кривой, привести уравнение к каноническому виду, изобразить кривую: x2 y2 6x 4y 4 0 .
Решение. Так как А С 1 ( 1) 0 , то данное уравнение определяет гиперболу. Выделяя полные квадраты и приведя подобные, уравнение можно привести к виду:
(x2 6x 9) ( y2 4y 4) 9 4 4 0
(x 3)2 ( y 2)2 9 .
Получим уравнение гиперболы
(x 3)2 |
( y 2)2 |
|||
|
|
|
1 |
|
9 |
9 |
|||
|
|
|||
с центром в точке (3,2) и полуосями а 3 , b 3 . Сделаем чертеж (рис. 3.14).
Y
3 |
O1 |
1 
O
1 |
3 |
X |
Рис. 3.14. Геометрическое построение к примеру 3.2
Пример 3.3. Определить вид кривой, привести уравнение к каноническому виду, изобразить кривую: x2 10x 2y 21 0.
Решение. Так как А С 1 0 0 , то данное уравнение определяет параболу. Выделяя полные квадраты и приведя подобные, уравнение можно привести к виду:
x2 10x 25 2y 21 25 0 ,
(x 5)2 2y 4 .
Получим уравнение параболы
63
(x 5)2 2( y 2)
с вершиной в точке (-5,-2) и параметром p 1 . Найдем точки пересечения параболы с осями координат, для удобства построения. Точки пересечения с осью ОХ получаем при y=0, решая уравнение x2 10x 21 0 , находим точки x1 7 и x2 3 , значит, имеет точки (-7;0) и (-3;0). Точку пересечения с осью ОY получаем при x=0, решая уравнение 2 у 21 0 , находим точку у1 10,5 , значит точка (0;10,5). Сделаем чертеж (рис. 3.15).
Y
10,5
-7 -5 -3 |
X |
|
O |
O1 |
-2 |
|
Рис. 3.15. Геометрическое построение к примеру 3.3
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
3.13. Определить вид кривой, привести уравнение к каноническому виду, изобразить кри-
вую:
а) x2 y2 x 4 0 ; |
д) x2 3y2 5x 0 ; |
б) 4x2 9y2 8x 36 y 4 0 ; |
е) x2 2x y ; |
в) x2 2y2 3x y 5 0 ; |
ж) x2 4x y 0 ; |
г) 7x2 5y2 14x 20 y 22 0 ; |
з) y2 6x 2y 11 0 . |
3.6. Кривые второго порядка в полярных координатах или заданные параметрическим образом
Как показано в пункте 1.2 пример 1.7, все кривые второго порядка в полярной системе ко-
ординат имеют общее уравнение |
|
|
|
p |
|
|
. |
|
1 cos |
||
Еще раз отметим, что, если, если 1, то кривая, определяемая данным уравнением, есть
64
эллипс; если 1 , то кривая задает |
гиперболу; если 1 , то это есть парабола. |
p |
b2 |
– фо- |
|
a |
|||||
|
|
|
|
кальный параметр для эллипса и гиперболы. Для параболы p имеет тот же смысл, что и в уравнении в декартовой системе координат y2 2 px (то есть p – расстояние от фокуса до дирек-
трисы).
В пункте 2.1 пример 2.1– 2.4 приводятся параметрические уравнения окружности, эллипса, параболы и гиперболы.
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
3.14. Перейти к декартовым координатам, привести уравнение к каноническому виду и по-
строить кривую: а) |
|
4 |
; |
б) |
|
|
6 |
; в) |
|
1 |
; |
|
|
|
|
||||||||||
2 3cos |
1 cos |
2 cos |
||||||||||
г) |
5 |
|
; |
д) |
3 |
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
6 3sin |
3 sin |
|
|
|
||||||||
3.15. Написать параметрическое уравнение следующих кривых и построить их графики:
а) x2 y2 9 ; б) |
x2 |
|
y2 |
1; |
в) |
x2 |
|
y2 |
1 ; |
г) y2 6x ; |
д) x2 4y . |
|
|
|
|
||||||||
|
9 |
4 |
|
|
25 |
16 |
|
|
|
||
ГЛАВА 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
4.1. Вычисление площадей плоских фигур
Пусть в полярной системе координат имеем кривую, заданную уравнением
( ) ,
где ( ) – непрерывная функция при . Тогда площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой ( ) и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы и (рис. 4.1), вычисляется по формуле:
S 1 2 ( )d . 2
( )
|
|
|
|
0 |
|
Рис. 4.1. Криволинейный сектор в полярных координатах
65