Материал: Полярная система координат. Параметрически заданные кривые. Приложения определенного интеграла. Каверина В.К., Некрасова Н.Н

Пример 1.12. Отрезок AB постоянной длины 2a скользит своими концами по сторонам прямого угла. Из вершины прямого угла O на этот отрезок опущен перпендикуляр OM. Найти геометрическое место оснований этих перпендикуляров.

Решение. Пусть отрезок AB = 2a скользит по сторонам прямого угла своими концами. Точка M ( , ) – основание перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла O на отре-

зок AB (рис. 1.13).

Составим уравнение этого геометрического места точек в полярных координатах. Для это-

16

ставить в уравнение a sin 2 соответствующие значения .

Y

A

M

B

X ,

Рис. 1.13. Четырехлепестковая роза a sin 2

Пример 1.13. Построить кривую

и найти ее уравнение в декартовых координатах.

Решение. Кривая a sin 2 является четырехлепестковой розой. Ее уравнение в декартовых координатах можно получить, если использовать формулы

x2 y 2 ;

17

Подстановка этих формул в уравнение кривой дает

или, после упрощения,

x2 y2 3 2axy .

Окончательно получаем уравнение четырехлепестковой розы в декартовых координатах

(табл.1.2). Затем построим полярную сетку, для чего проведем лучи, составляющие с полярной осью указанные в табл.1.2 углы. Далее, соединив полученные точки плавной линией, получим в I и IV четвертях, а затем и всю кривую, используя симметрию, относительно начала координат.

Замечание. Из уравнения x2 y2 3 4a2 x2 y2 видно, что если точка с координатами (x, y) удовлетворяет уравнению, то и точки с координатами ( x, y) , (x, y) и ( x, y) также удовле-

творяют этому уравнению. Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат и координатных осей ОX и ОY. Поэтому таблицу значений функции можно было со-

ставить для 0 2 , а затем отобразить график функции симметрично относительно коорди-

натных осей. Из табл. 1.2 видно, что полученные значения , при заданном угле , повторя-

ются в каждой четверти, поэтому полярную сетку строим следующим образом: проводим лучи, которые составляют с полярной осью углы, указанные в табл. 1.2. Затем строим окружности ра-

эти точки плавной линией, получим искомую кривую (рис.1.14).

18

Таблица 1.2

Значения функции a sin 2

Рис. 1.14. Построение четырехлепестковой розы с использованием полярной сетки

1.3.2. Лемниската Бернулли

Лемнискаты – это плоские алгебраические кривые порядка 2n , произведение расстояний каждой точки которых до заданных точек (фокусов) F1, F2 , ..., Fn равно заданному числу r (ра-

19

диусу лемнискаты). Уравнение лемнискаты в декартовых прямоугольных координатах имеет вид

квадрат:

(x a)2 y2 (x a)2 y2 a4 ,

x2 2ax a2 y2 x2 2ax a2 y2 a4 ,

x2 a2 y2 2ax x2 a2 y2 2ax a4 ,

x2 a2 y2 2 4a2 x2 a4 .

или

x2 y2 2 2 x2 y2 a2 a4 4a2 x2 a4 ,

x2 y2 2 2a2 x2 2a2 y2 ,

x2 y2 2 2a2 x2 y2 .

Найдено уравнение алгебраической кривой 4-го порядка, которая называется лемнискатой Бернулли (рис. 1.15).

Перейдем к полярным координатам, используя формулы (1.1):

2 2a2 2 cos2 2 sin2 ,

(1.12)

2 2a2 cos 2 .

20