Материал: Полярная система координат. Параметрически заданные кривые. Приложения определенного интеграла. Каверина В.К., Некрасова Н.Н

ческую спираль, спираль Галилея, спираль Ферма, параболическую спираль, жезл, а также логарифмическую спираль.

1.4.1. Спираль Архимеда

Спираль Архимеда представляет собой путь, описываемый некоторой точкой, движущейся с постоянной скоростью v по лучу, вращающемуся около полюса O с постоянной угловой ско-

ростью . Ее уравнение в полярных координатах a , где a v , . Для доказа-

тельства рассмотрим следующий пример.

Пример 1.18. Точка М равномерно перемещается по лучу, вращающемуся равномерно около полюса. Составить уравнение линии, описанной точкой М, если в начальный момент вращающийся луч совпадает с полярной осью, точка М – с полюсом, а при повороте луча на угол 1 (один радиан) точка М удалилась от полюса на расстояние а.

Решение. Так как в начальный момент и равны нулю, а затем оба возрастают про-

порционально времени, то они связаны прямой пропорциональной зависимостью const. Но

Получили уравнение кривой – спирали Архимеда. В декартовых координатах уравнение имеет вид

Пример 1.19. Построить спираль Архимеда, заданную уравнением 12 .

Решение. Составим табл. 1.5 значений функции ( ) 12 .

Таблица 1.5

Полярные координаты точек спирали Архимеда 12

веден один виток спирали Архимеда.

26

М6

М8

М7

Рис. 1.20. Спираль Архимеда

1.4.2. Гиперболические спирали

Гиперболические спирали состоят из двух ветвей, расположенных симметрично относительно оси OY. В полярных координатах уравнение первой ветви

График гиперболических спиралей представлен на рис. 1.21, где совмещены полярная ось с положительной полуосью ОХ, а полюс – с началом координат. Для обеих ветвей прямая y a

y a

Рис. 1.21. Две ветви гиперболической спирали:

27

Рис. 1.22. Спираль Галилея a 2 l , l 0 .

1.4.4. Спираль Ферма

Спираль Ферма (рис. 1.23) – плоская кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид

Спираль относится к типу алгебраических спиралей. Каждому значению соответствует два значения – положительное и отрицательное. Спираль Ферма центрально симметрична относительно полюса, который является точкой перегиба.

28

0

Рис. 1.23. Спираль Ферма 2 a2

1.4.5. Параболическая спираль

Параболическая спираль представляет собой плоскую кривую, уравнение которой в полярных координатах имеет вид

Кривая состоит из двух ветвей: a l и a l . Вторая из них образует с пер-

вой бесконечное множество двойных точек. Кривая имеет также одну точку перегиба (рис. 1.24). Действительно, касательная и кривая в точке 0 совпадает с полярной осью, а кривизна

K2 2 2 3 / 2

2 2

обращается в нуль при 1 , где 1 0 – корень уравнения

Если l 0 , то кривая (1.20) становится спиралью Ферма (см. рис. 1.23).

29

каждая из которых асимптотически приближается к полюсу (рис. 1.25).

точками перегиба.

1.4.7. Логарифмические спирали

Линия, задаваемая в полярных координатах уравнением

где a и k – положительные постоянные, называется логарифмической спиралью.

Пример 1.20. Требуется построить график логарифмической спирали 2ek .

Решение. Придавая различные значения ( ) и определяя соответствующие значения , можно найти множество значений , , удовлетворяющих данному уравнению. Сначала определим значения по выбранным значениям из интервала и составим соответствующую табл. 1.6. Как видно из этой таблицы, при возрастании угла в арифметиче-

ской прогрессии с разностью 2 полярный радиус возрастает в геометрической прогрессии со

30