Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н
Полученная формула (2.6) позволяет находить производную для функции, заданной параметрически.
Пример 4. |
Пусть функция y, зависящая от x, задана па- |
|||
x = a cos t, |
0 |
≤ t ≤ π. Найти |
y′x . |
|
раметрически: |
|
|||
y = bsin t, |
|
|
|
|
Решение. |
y′ |
= |
yt′ |
= |
b cos t |
= – |
b |
ctgt. |
|
x |
|
x′ |
|
− a sin t |
|
a |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
Пример 5. Найти угловой коэффициент k касательной к циклоиде в точке M0, соответствующей значению параметра
t0 = π .
4
Решение. Из уравнений циклоиды: |
|
|
|||||||
y′ |
= asint, |
x′ = a(1 – cost), поэтому |
|
|
|||||
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
a sin t |
|
|
sin t |
|
|
|
|
y′ = |
t |
= |
|
= |
|
|
. |
|
|
x |
x′ |
a(1 − cos t) (1 |
−cos t) |
|
|||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
Угловой коэффициент касательной в точке M0 равен значению y′x при t0 = π
4 :
|
sin |
π |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2(2 + |
2) |
|
2 |
2 + 2 |
|
|
|
k = |
4 |
|
= |
|
|
|
2 |
|
= |
= |
= |
= |
2 +1, |
|||||||
|
|
π |
|
|
|
2 |
2 − 2 |
4 − 2 |
|
|
2 |
|||||||||
1 − cos |
4 |
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = |
2 +1. |
|
|
|
|
|
|
|
2.7. Дифференциал функции
Пусть функция в точке x0 имеет производную. По определению:
56
|
lim |
y |
= f ′(x0), поэтому по свойствам предела (разд. 1.8) |
|||||
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
y = f (x0) + α, где α – бесконечно малая при |
x → 0. Отсюда |
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
f ′(x0) |
x + α x. |
|
(2.7) |
|
|
При x → 0 второе слагаемое в равенстве (2.7) является |
|||||||
бесконечно малой высшего порядка, по сравнению с |
x: |
|||||||
lim |
α |
x = |
lim α = 0, поэтому y и f ′(x0) |
x – эквивалент- |
||||
x→0 |
x |
|
x→0 |
|
|
f ′(x0) ≠ 0). |
|
|
ные, бесконечно малые (при |
|
|
||||||
|
Таким образом, приращение функции |
y состоит из двух |
||||||
слагаемых, |
из которых |
первое f ′(x0) x является главной |
||||||
частью |
приращения |
y, |
линейной относительно |
x (при |
||||
f ′(x0) ≠ 0).
Дифференциалом функции f (x) в точке x0 называется главная часть приращения функции и обозначается: dy или df (x0). Следовательно,
df (x0) = f ′(x0) x. |
(2.8) |
Пример 1. Найти дифференциал функции dy и приращение функции y для функции y = x2 при:
1) произвольных x и x; |
2) x0 = 20, x = 0,1. |
Решение
1) y = (x + x)2 – x2 = x2 + 2x x + ( x)2 – x2 = = 2x x + ( x)2, dy = 2x x.
2) Если x0 = 20, x = 0,1, то
y = 40 0,1 + (0,1)2 = 4,01; dy = 40 0,1= 4.
Запишем равенство (2.7) в виде: 57
y = dy + α x. |
(2.9) |
Приращение y отличается от дифференциала dy на бесконечно малую высшего порядка, по сравнению с x, поэтому в приближенных вычислениях пользуются приближенным ра-
венством y ≈ dy, если |
x достаточно мало. |
|
Учитывая, что |
y = f (x0 + x) – f (x0), |
получаем при- |
ближенную формулу: |
|
|
f(x0 + x) ≈ f(x0) + dy. |
(2.10) |
|
Пример 2. Вычислить приближенно |
4,1 . |
|
Решение. Рассмотрим: f(x) = 
x ; x0 = 4, x = 0,1; тогда 4,1 = f(x0 + x). Используя формулу (2.10), получим:
4,1 = f (x0 + |
x) ≈ f (x0) + dy, |
f (x0) = 4 =2, |
dy = f'(x0) x = |
||||
|
|
1 |
0,1 = |
0,1 |
= 0,025. |
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
||
Значит, |
4,1 |
≈ 2,025. |
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
геометрический |
смысл |
дифференциала |
||||
df(x0) (рис. 2.6). |
|
|
|
|
|
|
|
Проведем |
к графику функции y = f (x) |
касательную в |
|||||
точке M0(x0, f (x0)), пусть ϕ – угол между касательной KM0 и
осью Ox, тогда f '(x0) = tgϕ. Из M0NP:
PN = tgϕ x = f '(x0) x = df(x0).
Но PN является приращением ординаты касательной при изменении x от x0 до x0 + x. Следовательно, дифференциал функции f (x) в точке x0 равен приращению ординаты касательной.
Найдем дифференциал функции y = x. Так как (x)' = 1, то dx = 1 x = x. Будем считать, что дифференциал независимой переменной x равен ее приращению, т.е. dx = x.
58
Если x – произвольное число, то из равенства (2.8) полу-
чаем df(x) = |
f ′(x)dx, откуда f ′(x) = |
df (x) |
или |
f ′(x) = |
dy |
. |
dx |
|
|||||
|
|
|
|
dx |
||
Таким образом, производная для функции y = f (x) равна отношению ее дифференциала к дифференциалу аргумента.
P
y
M 
ϕ M N
y = f(x)
K 
ϕ
0 |
|
x0 |
|
|
x0 + x x |
|
|
x |
|||
|
Рис. 2.6 |
|
|
|
|
Рассмотрим свойства дифференциала функции.
Еслиu(x), v(x) – дифференцируемыефункции, тосправедливыследующиеформулы:
d(u + v) = du + dv; d(u v) = u dv + v du;
u |
= |
du v −u dv |
, (v ≠ 0). |
d |
v2 |
||
v |
|
|
(2.11)
(2.12)
(2.13)
Для доказательства этих формул используются формулы производных для суммы, произведения и частного функции. Докажем, например, формулу (2.12):
d(u v) = (u v)' x = (u v' + u' v) x = =u v' x + u' x v = u dv + v du.
Рассмотрим дифференциал сложной функции:
59
y = f (x), x = ϕ (t), т.е. y = f (ϕ (t)). |
|
|||
Тогда dy = |
yt′dt, но |
yt′ = y′x xt′ , |
поэтому dy = |
y′x xt′ dt. |
Учитывая, что |
x′dt = dx, |
получаем |
dy = y′ dx = f ′ |
(x)dx. |
|
t |
|
x |
|
Таким образом, дифференциал сложной функции y = f(x), где x = ϕ (t), имеет вид dy = f ′(x)dx, такой же, как в том слу-
чае, когда x является независимой переменной. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.
2.8. Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть функция f (x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная f ′(x) также
является функцией от x на этом промежутке. Если f ′(x) имеет
производную на промежутке X, то эта производная называется
производной второго порядка функции y = f (x) и обозначает-
ся: y'' или f ′′(x).
Итак, f ′′(x) = ( f ′(x))'.
Производная от производной второго порядка называется
производной третьего порядка и обозначается: y''' или f ′′′(x).
Вообще, производной n-го порядка называется произ-
водная от производной (n – 1)-го порядка и обозначается: y(n)
или f (n)(x). Итак, f (n)(x) = (f (n-1)(x))'.
Производные y'', y''', ... называются производными высших порядков.
Пример 1. f (x) = |
|
x |
. Найти |
f ′′′(x) |
и f ′′′(4). |
|
|
|||
Решение. f ′(x) = |
(x1/ 2 )′ = |
1 |
|
x−1/ 2 , |
f ′′(x) = – |
1 |
x−3 / 2 , |
|||
|
4 |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
f ′′′(x) = |
|
3 |
x−5 / 2 = |
3 |
, |
|
|
|
||
8 |
8 x5 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
60